Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 89 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа 89
L
0
=
x ∈ l
2
1
: x
1
− 2x
2
= 0
, f
0
(x) = 3x
1
− 2x
2
.
Задача 7. Пусть L
0
– подпространство l
3
∞
. На L
0
задан линейный функ-
ционал f
0
. Найти все линейные функционалы, заданные на l
3
∞
, такие что f –
продолжение f
0
и kfk = kf
0
k:
L = l
3
∞
, L
0
=
x ∈ l
3
∞
: x
1
= t, x
2
= 2t, x
3
= −t
, f
0
(x) = 2x
1
.
Задача 8. Вычислить норму оператора A, если
а) A : C[0, 1] → C[0, 1]; Ax(t) =
1
R
0
e
t−s
· x(s)ds;
б) A : l
3
∞
→ l
3
∞
; A =
1 2 3
0 −1 2
1 2 2
.
Задача 9. Пусть задана последовательность функционалов
f
n
: L
2
[0, 1] → R. Выяснить, есть ли сходимость, и определить вид
сходимости, если
f
n
(x) =
1
R
0
t
n
· x(t)dt.
Задача 10. Найти спектр и резольвенту оператора A, если
A : C[0, 1] → C[0, 1]; Ax(t) = tx(t) + x(0).
Вариант II
Задача 1. Вычислить норму функционала f. Достигается ли норма
функционала на единичном шаре, если
f : C[−2, 1] → R; f(x) = 3x(−2) + x(0) − 5x
1
2
.
Задача 2. Доказать, что функционал f линейный, и вычислить его норму:
f : L
3
[0, 1] → R; f(x) =
1
R
0
t · x(t)dt.
Задача 3. Найти λ, при котором норма функционала f минимальна, если
f : l
4
→ R; f(x) = (−4 + λ)x
1
− (2 − λ)x
2
+ 3x
4
.
Задача 4. Представить линейный функционал f : C[0, 2] → R в виде инте-
грала Стилтьеса f(x) =
2
R
0
x(t)dg(t). Пользуясь теоремой Рисса об общем виде
функционала, вычислить норму f, если

Страницы