Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 90 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

90 Приложение. Тестовые задания
f(x) = x(1) + 2x(2) +
2
R
0
x(t)dt.
Задача 5. Вычислить расстояние от элемента x
∗
до ядра линейного функ-
ционала f. Найти элемент наилучшего приближения или минимизирующую
последовательность:
f : C[0, 1] → R; f(x) = x(0) −
1
R
0
x(t)dt; x
∗
(t) = t
2
.
Задача 6. Пусть L
0
– подпространство L. На L
0
задан линейный
функционал f
0
. Используя геометрический подход, найти все продолжения
функционала f
0
на L такие, что выполняются все условия теоремы Хана–
Банаха:
L = l
2
∞
, L
0
=
x ∈ l
2
∞
: x
1
+ 2x
2
= 0
, f
0
(x) = 2x
1
+ 4x
2
.
Задача 7. Пусть L
0
– подпространство L. На L
0
задан линейный функ-
ционал f
0
. Найти все линейные функционалы, заданные на L, такие что f –
продолжение f
0
и kfk = kf
0
k:
L = l
3
1
, L
0
=
x ∈ l
3
1
: x
1
= 2t, x
2
= t, x
3
= t
, f
0
(x) = x
1
− x
2
.
Задача 8. Вычислить норму оператора A, если
а) f : M[−1, 2] → M[−1, 2]; Ax(t) = x(0)t +
2
R
−1
x(t)dt;
б) f : l
3
2
→ l
3
2
; A =
11 2 −8
2 2 10
−8 10 5
.
Задача 9. Пусть задана последовательность функционалов
f
n
: C[0, 1] → R. Выяснить, есть ли сходимость, и определить вид схо-
димости, если f
n
(x) =
1
R
0
e
t
n
· x(t)dt.
Задача 10. Найти спектр и резольвенту оператора, если
A : C[−1, 0] → C[−1, 0]; Ax(t) = t
2
x(t) − 2x(−1).
Вариант III
Задача 1. Вычислить норму функционала. Достигается ли норма функци-
онала на единичном шаре, если
f : C[−1, 3] → R; f(x) = x(0) +
3
R
−1
t
2
· x(t)dt.
Задача 2. Доказать, что функционал линейный, и вычислить его норму:

Страницы