Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 92 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

92 Приложение. Тестовые задания
Задача 10. Найти спектр и резольвенту оператора, если
A : C[0, 1] → C[0, 1]; Ax(t) = tx(1) − t
2
x(0).
Вариант IV
Задача 1. Вычислить норму функционала. Достигается ли норма функци-
онала на единичном шаре, если
f : C[−3, 1] → R; f(x) = 2x
1
2
+
1
R
−3
t
4
· x(t)dt.
Задача 2. Доказать, что функционал линейный, и вычислить его норму:
f : L
2
[−1, 2] → R; f(x) =
2
R
−1
t
3
· x(t)dt.
Задача 3. Найти λ, при котором норма функционала минимальна, если
f : l
1
→ R; f(x) = λ · x
1
− 5x
2
+ (6 − λ)x
3
− 7x
4
.
Задача 4. Представить линейный функционал f : C[−2, 3] → R в виде
интеграла Стилтьеса f(x) =
3
R
−2
x(t)dg(t). Пользуясь теоремой Рисса об общем
виде функционала, вычислить норму f, если f(x) = x(1) +
3
R
−2
t · x(t)dt.
Задача 5. Вычислить расстояние от элемента x
∗
до ядра линейного функ-
ционала f. Найти элемент наилучшего приближения или минимизирующую
последовательность:
f : l
1
→ R; f(x) = x
1
− 2x
2
+ 3x
3
; x
∗
= (2, 1, −1, 0, 0, ...).
Задача 6. Пусть L
0
– подпространство L. На L
0
задан линейный
функционал f
0
. Используя геометрический подход, найти все продолжения
функционала f
0
на L такие, что выполняются все условия теоремы Хана–
Банаха:
L = l
2
1
, L
0
=
x ∈ l
2
1
: x
1
+ 4x
2
= 0
, f
0
(x) = x
1
− 4x
2
.
Задача 7. Пусть L
0
– подпространство L. На L
0
задан линейный функ-
ционал f
0
. Найти все линейные функционалы, заданные на L, такие что f –
продолжение f
0
и kfk = kf
0
k:
L = l
3
∞
, L
0
=
x ∈ l
3
∞
: x
1
− 2x
3
, f
0
(x) = x
1
− 2x
3
.
Задача 8. Вычислить норму оператора, если
а) f : C[−2, 3] → C[0, 3]; Ax(t) = t ·x(0) + t
2
· x(1);

Страницы