Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 93 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа 93
б) f : l
3
1
→ l
3
1
; A =
17 6 −15
8 3 −4
0 −4 9
.
Задача 9. Пусть задана последовательность функционалов
f
n
: L
2
[0, 1] → R. Выяснить, есть ли сходимость, и определить вид
сходимости, если
f
n
(x) =
1
R
0
(cos
t
n
+ t) · x(t)dt.
Задача 10. Найти спектр и резольвенту оператора, если
A : C[0, 2π] → C[0, 2π]; Ax(t) = sin tx(0) + cos tx(1).
Вариант V
Задача 1. Вычислить норму функционала. Достигается ли норма функци-
онала на единичном шаре, если
f : C[0, π] → R; f(x) = 2x
π
2
+
π
R
0
sin t · x(t)dt.
Задача 2. Доказать, что функционал линейный, и вычислить его норму:
f : L
3
[−1, 2] → R; f(x) =
2
R
−1
t
3
· x(t)dt.
Задача 3. Найти λ, при котором норма функционала минимальна, если
f : l
∞
→ R; f(x) = −2λx
1
+ 3x
2
− (8 − λ)x
5
.
Задача 4. Представить линейный функционал f : C[−3, 1] → R в виде
интеграла Стилтьеса f(x) =
1
R
−3
x(t)dg(t). Пользуясь теоремой Рисса об общем
виде функционала, вычислить норму f, если f(x) = x(0) +
1
R
−3
t
2
· x(t)dt.
Задача 5. Вычислить расстояние от элемента x
∗
до ядра линейного функ-
ционала f. Найти элемент наилучшего приближения или минимизирующую
последовательность:
f : l
∞
→ R; f(x) = x
1
− 2x
2
+ 3x
3
; x = (−1, 0, 2, 0, 0, ...).
Задача 6. Пусть L
0
– подпространство L. На L
0
задан линейный
функционал f
0
. Используя геометрический подход, найти все продолжения
функционала f
0
на L такие, что выполняются все условия теоремы Хана–
Банаха:

Страницы