Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 95 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа 95
Задача 5. Вычислить расстояние от элемента x
∗
до ядра линейного функ-
ционала f. Найти элемент наилучшего приближения или минимизирующую
последовательность:
f : L
2
[−2, 1] → R; f(x) =
1
R
−2
t · x(t)dt; x
∗
(t) ≡ 1.
Задача 6. Пусть L
0
– подпространство L. На L
0
задан линейный
функционал f
0
. Используя геометрический подход, найти все продолжения
функционала f
0
на L такие, что выполняются все условия теоремы Хана–
Банаха:
L = l
2
2
, L
0
=
x ∈ l
2
2
: 4x
1
− 2x
2
= 0
, f
0
(x) = 5x
2
.
Задача 7. Пусть L
0
– подпространство L. На L
0
задан линейный функ-
ционал f
0
. Найти все линейные функционалы, заданные на L, такие что f –
продолжение f
0
и kfk = kf
0
k:
L = l
3
1
, L
0
=
x ∈ l
3
1
: x
1
− x
2
+ x
3
, f
0
(x) = x
1
− x
2
.
Задача 8. Вычислить норму оператора, если
а) A :
f
L
1
[−3, 1] → C[−3, 1]; Ax(t) =
1
R
−3
t
2
· e
s
· x(s)ds;
б) A : l
2
→ l
1
; Ax = (x
1
, x
1
+ x
2
, −x
3
, 0, 0...).
Задача 9. Пусть задана последовательность функционалов f
n
: l
1
→ R.
Выяснить, есть ли сходимость, и определить вид сходимости, если
f
n
(x) = (
n+1
n
) · x
1
−
x
3
n
.
Задача 10. Найти спектр и резольвенту оператора, если
A : C[0, 3] → C[0, 3]; Ax(t) = (t
2
− 1)x(0) + x(1).
Вариант VII
Задача 1. Вычислить норму функционала. Достигается ли норма функци-
онала на единичном шаре, если
f : C[0, 1] → R; f(x) =
n
P
i=0
x
i
n
.
Задача 2. Доказать, что функционал f : L
2
[−1, 2] → R линейный, и
вычислить его норму:

Страницы