Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 97 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа 97
Вариант VIII
Задача 1. Вычислить норму функционала. Достигается ли норма функци-
онала на единичном шаре, если
f : C[−3, 2] → R; f(x) = 4x(1) − 5x(2) + e · x(−1).
Задача 2. Доказать, что функционал линейный, и вычислить его норму:
f : L
3
[−1, 3] → R; f(x) =
3
R
−1
e
t
· x(t)dt.
Задача 3. Найти λ, при котором норма функционала минимальна, если
f : l
∞
→ R; f(x) = (2 − λ)x
2
− 4λx
3
− x
4
.
Задача 4. Представить линейный функционал f : C[−2, 2] → R в виде
интеграла Стилтьеса f(x) =
2
R
−2
x(t)dg(t). Пользуясь теоремой Рисса об общем
виде функционала, вычислить норму f, если
f(x) = x(1) −
2
R
−2
e
t
· x(t)dt.
Задача 5. Вычислить расстояние от элемента x
∗
до ядра линейного функ-
ционала f. Найти элемент наилучшего приближения или минимизирующую
последовательность:
f : C[0, 3] → R; f(x) = x(0) − 2x(1) + 3x(2); x
∗
(t) = t
2
+ 5t.
Задача 6. Пусть L
0
– подпространство L. На L
0
задан линейный
функционал f
0
. Используя геометрический подход, найти все продолжения
функционала f
0
на L такие, что выполняются все условия теоремы Хана–
Банаха:
L = l
2
1
, L
0
=
x ∈ l
2
1
: 3x
1
− 9x
2
= 0
, f
0
(x) = 4x
1
.
Задача 7. Пусть L
0
– подпространство L. На L
0
задан линейный функ-
ционал f
0
. Найти все линейные функционалы, заданные на L, такие что f –
продолжение f
0
и kfk = kf
0
k:
L = l
3
∞
, L
0
=
x ∈ l
3
∞
: x
1
= 2t, x
2
= 2t, x
3
= t
, f
0
(x) = x
1
+ 3x
3
.
Задача 8. Вычислить норму оператора, если
а) A : M[−2, 3] → M[−2, 3]; Ax(t) = x(1)t −2x(3) +
3
R
−2
t
2
(s + 1) ·x(s)ds;

Страницы