Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 99 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа 99
Задача 7. Пусть L
0
– подпространство L. На L
0
задан линейный функ-
ционал f
0
. Найти все линейные функционалы, заданные на L, такие что f –
продолжение f
0
и kfk = kf
0
k:
L = l
3
1
, L
0
=
x ∈ l
3
1
: x
1
= 3t, x
2
= t, x
3
= 0
, f
0
(x) = 3x
1
−3x
2
.
Задача 8. Вычислить норму оператора, если
а) A : L
2
[−3, 1] → L
2
[−3, 1]; Ax(t) =
1
R
−3
t · s · x(s)ds;
б) A : l
3
2
→ l
3
2
; A =
1 0 2
0 −1 1
1 −2 3
.
Задача 9. Пусть задана последовательность функционалов f
n
: l
2
→ R.
Выяснить, есть ли сходимость, и определить вид сходимости, если
f
n
(x) =
1 −
1
n
x
n
+
2 +
3
n
x
n+1
.
Задача 10. Найти спектр и резольвенту оператора, если
A : C[−1, 2] → C[−1, 2]; Ax(t) =
2
R
−1
t · sx(s)ds.
Вариант X
Задача 1. Вычислить норму функционала. Достигается ли норма функци-
онала на единичном шаре, если
f : C[0, 4] → R; f(x) =
4
R
0
|t − 2| · t · x(t)dt.
Задача 2. Доказать, что функционал линейный, и вычислить его норму:
f : L
2
[0, 1] → R; f(x) =
1
R
0
2
t
· x(t)dt.
Задача 3. Найти λ, при котором норма функционала минимальна, если
f : l
3
→ R; f(x) = 2λx
1
+ x
2
− (3 − λ)x
4
.
Задача 4. Представить линейный функционал f : C[−1, 2] → R в виде
интеграла Стилтьеса f(x) =
2
R
−1
x(t)dg(t). Пользуясь теоремой Рисса об общем
виде функционала, вычислить норму f, если
f(x) = x(1) − x(2) +
2
R
−1
|t| · x(t)dt.

Страницы