Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 100 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

100 Приложение. Тестовые задания
Задача 5. Вычислить расстояние от элемента x
∗
до ядра линейного функ-
ционала f. Найти элемент наилучшего приближения или минимизирующую
последовательность:
f : l
3
3
→ R; f(x) = x
1
+ 2x
2
− 4x
3
; x
∗
(t) = (1, −1, 3).
Задача 6. Пусть L
0
– подпространство L. На L
0
задан линейный
функционал f
0
. Используя геометрический подход, найти все продолжения
функционала f
0
на L такие, что выполняются все условия теоремы Хана–
Банаха:
L = l
2
∞
, L
0
=
x ∈ l
2
∞
: 3x
1
+ 8x
2
= 0
, f
0
(x) = x
1
− 4x
2
.
Задача 7. Пусть L
0
– подпространство L. На L
0
задан линейный функ-
ционал f
0
. Найти все линейные функционалы, заданные на L, такие что f –
продолжение f
0
и kfk = kf
0
k:
L = l
3
1
, L
0
=
x ∈ l
3
1
: x
1
+ 2x
3
= 0
, f
0
(x) = 4x
1
.
Задача 8. Вычислить норму оператора, если
а) A : C[−2, 3] → C[−2, 3]; Ax(t) =
3
R
−2
t
2
s · x(s)ds.
б) A : l
3
2
→ l
3
2
; A =
−1 3 −1
−3 0 −1
−3 3 1
.
Задача 9. Пусть задана последовательность функционалов f
n
: l
3
→ R.
Выяснить, есть ли сходимость, и определить вид сходимости, если
f
n
(x) = 2x
1
− x
3
+
1 −
1
n
x
n
.
Задача 10. Найти спектр и резольвенту оператора, если
A : C[−1, 0] → C[−1, 0]; Ax(t) =
0
R
−1
t
2
· sx(s)ds.
Вариант XI
Задача 1. Вычислить норму функционала. Достигается ли норма функци-
онала на единичном шаре, если
f : C[−2, 3] → R; f(x) = 3x(−2) − x(0) +
3
R
−2
(t + 1)
3
· x(t)dt.
Задача 2. Доказать, что функционал линейный, и вычислить его норму.:

Страницы