Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 98 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

98 Приложение. Тестовые задания
б) A : l
3
→ l
1
; Ax = (x
1
, x
2
− x
3
, x
4
, 0, 0, ...).
Задача 9. Пусть задана последовательность функционалов
f
n
: M[0, 1] → R. Выяснить, есть ли сходимость, и определить вид схо-
димости, если
f
n
(x) = 2x
1
n
+ x(0).
Задача 10. Найти спектр и резольвенту оператора, если
A : C[−1, 0] → C[−1, 0]; Ax(t) = tx(t) + x(0).
Вариант IX
Задача 1. Вычислить норму функционала. Достигается ли норма функци-
онала на единичном шаре, если
f : C[0, 3] → R; f(x) =
3
R
0
t · e
t
· x(t)dt.
Задача 2. Доказать, что функционал линейный, и вычислить его норму:
f : L
5
[−1, 3] → R; f(x) =
3
R
−1
t · x(t)dt.
Задача 3. Найти λ, при котором норма функционала минимальна, если
f : l
1
→ R; f(x) = (4 − λ)x
1
− (λ + 1)x
2
− 3x
5
.
Задача 4. Представить линейный функционал f : C[0, π] → R в виде инте-
грала Стилтьеса f(x) =
π
R
0
x(t)dg(t). Пользуясь теоремой Рисса об общем виде
функционала, вычислить норму f, если
f(x) = 2x(2) +
π
R
0
sin t · x(t)dt.
Задача 5. Вычислить расстояние от элемента x
∗
до ядра линейного функ-
ционала f. Найти элемент наилучшего приближения или минимизирующую
последовательность:
f : C[−3, 1] → R; f(x) = x(0) +
1
R
−3
t
3
· x(t)dt; x
∗
(t) = t + 2.
Задача 6. Пусть L
0
– подпространство L. На L
0
задан линейный
функционал f
0
. Используя геометрический подход, найти все продолжения
функционала f
0
на L такие, что выполняются все условия теоремы Хана–
Банаха:
L = l
2
∞
, L
0
=
x ∈ l
2
∞
: 4x
1
− x
2
= 0
, f(x) = 2x
2
.

Страницы