Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 96 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

96 Приложение. Тестовые задания
f(x) =
2
R
1
|t − 1| · x(t)dt.
Задача 3. Найти λ, при котором норма функционала минимальна, если
f : l
3
→ R; f(x) = 2λx
1
− x
2
+ 6λx
4
.
Задача 4. Представить линейный функционал f : C[0, 3] → R в виде
интеграла Стилтьеса f(x) =
3
R
0
3x(t)dg(t). Пользуясь теоремой Рисса об об-
щем виде функционала, вычислить норму f, если f(x) = x(1)−4x(2)+5x(3).
Задача 5. Вычислить расстояние в пространстве X от элемента x
∗
∈ X до
ядра линейного функционала f, заданного на X. Найти элемент наилучшего
приближения или минимизирующую последовательность:
f : L
3
[−2, 1] → R; f(x) =
1
R
−2
x(t)dt; x
∗
(t) = |t|.
Задача 6. Пусть L
0
– подпространство L. На L
0
задан линейный
функционал f
0
. Используя геометрический подход, найти все продолжения
функционала f
0
на L такие, что выполняются все условия теоремы Хана–
Банаха:
L = l
2
1
, L
0
=
x ∈ l
2
2
: 4x
1
− 2x
2
= 0
, f
0
(x) = 5x
2
− x
1
.
Задача 7. Пусть L
0
– подпространство L. На L
0
задан линейный функ-
ционал f
0
. Найти все линейные функционалы, заданные на L, такие что f –
продолжение f
0
и kfk = kf
0
k:
L = l
3
∞
, L
0
=
x ∈ l
3
∞
: 2x
1
= x
3
, f
0
(x) = 2x
1
.
L = l
2
1
, L
0
=
x ∈ l
2
1
: 5x
1
+ x
2
= 0
, f(x) = x
1
− x
2
.
Задача 8. Вычислить норму оператора, если
а) A :
f
L
1
[−2, 3] → C[−2, 3]; Ax(t) =
3
R
−2
(t + 1)s · x(s)ds;
б) A : l
∞
→ l
∞
; Ax = (x
1
, x
2
+ x
3
, x
1
, 0, 0...).
Задача 9. Пусть задана последовательность операторов f
n
: C[0, 1] → R.
Выяснить, есть ли сходимость, и определить вид сходимости, если
f
n
(x) = x
1
n
.
Задача 10. Найти спектр и резольвенту оператора, если
A : C[0, 2] → C[0, 2]; Ax(t) = e
t
x(0) + x(1).

Страницы