Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 94 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

94 Приложение. Тестовые задания
L = l
2
∞
, L
0
=
x ∈ l
2
∞
: x
1
− 5x
2
= 0
, f
0
(x) = x
1
− 3x
2
.
Задача 7. Пусть L
0
– подпространство L. На L
0
задан линейный функ-
ционал f
0
. Найти все линейные функционалы, заданные на L, такие что f –
продолжение f
0
и kfk = kf
0
k:
L = l
3
1
, L
0
=
x ∈ l
3
1
: x
1
= t, x
2
= 0, x
3
= 2t
, f
0
(x) = x
1
−x
2
+x
3
.
Задача 8. Вычислить норму оператора, если
а) f : L
2
[−1, 2] → L
2
[−1, 2]; Ax(t) =
t
R
0
s
2
· x(s)ds;
б) f : l
3
∞
→ l
3
∞
; A =
−8 0 3
0 1 5
−1 1 4
.
Задача 9. Пусть задана последовательность функционалов f
n
: l
2
→ R.
Выяснить, есть ли сходимость, и определить вид сходимости, если
f
n
(x) = x
n+1
− x
n+2
.
Задача 10. Найти спектр и резольвенту оператора, если
A : C[0, 2] → C[0, 2]; Ax(t) = tx(2) − t
3
x(0).
Вариант VI
Задача 1. Вычислить норму функционала. Достигается ли норма функци-
онала на единичном шаре, если
f : C[−2, 1] → R; f(x) = −2x(0) −
1
R
−2
|t| · x(t)dt.
Задача 2. Доказать, что функционал линейный, и вычислить его норму:
f : L
4
[−1, 2] → R; f(x) =
2
R
−1
|t| · x(t)dt.
Задача 3. Найти λ, при котором норма функционала минимальна, если
f : l
2
→ R; f(x) = −λx
1
+ 3x
2
+ (5 + λ)x
6
.
Задача 4. Представить линейный функционал f : C[−1, 1] → R в виде
интеграла Стилтьеса f(x) =
1
R
−1
x(t)dg(t). Пользуясь теоремой Рисса об общем
виде функционала, вычислить норму f, если
f(x) = x(−1) − x(0) +
1
R
−1
t − −
1
2
· x(t)dt.

Страницы