Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 101 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа 101
f : L
2
[0, 2π] → R; f(x) =
2π
R
0
sin t · x(t)dt.
Задача 3. Найти λ, при котором норма функционала минимальна, если
f : l
4
→ R; f(x) = (1 − λ)x
1
+ λx
2
− 3x
3
.
Задача 4. Представить линейный функционал f : C[0, 2] → R в виде инте-
грала Стилтьеса f(x) =
2
R
0
x(t)dg(t). Пользуясь теоремой Рисса об общем виде
функционала, вычислить норму f, если
f(x) =
2
R
0
x(t)dt + x(1) − 2x(0).
Задача 5. Вычислить расстояние от элемента x
∗
до ядра линейного функ-
ционала f. Найти элемент наилучшего приближения или минимизирующую
последовательность:
f : l
4
∞
→ R; f(x) = x
1
− x
4
; x
∗
= (1, 2, 0, 3).
Задача 6. Пусть L
0
– подпространство L. На L
0
задан линейный
функционал f
0
. Используя геометрический подход, найти все продолжения
функционала f
0
на L такие, что выполняются все условия теоремы Хана–
Банаха:
L = l
2
2
, L
0
=
x ∈ l
2
2
: x
1
+ x
2
= 0
, f
0
(x) = 4x
1
− x
2
.
Задача 7. Пусть L
0
– подпространство L. На L
0
задан линейный функ-
ционал f
0
. Найти все линейные функционалы, заданные на L, такие что f –
продолжение f
0
и kfk = kf
0
k:
L = l
3
∞
, L
0
=
x ∈ l
3
∞
: 2x
1
− x
2
= 0
, f
0
(x) = x
3
.
Задача 8. Вычислить норму оператора, если
а) A : M[−1, 2] → M[−1, 2]; Ax(t) = x(0)t + x(1)t
2
;
б) A : l
4
2
→ l
4
2
; A =
1 1 1 1
1 1 −1 −1
1 −1 1 −1
1 −1 −1 1
.
Задача 9. Пусть задана последовательность функционалов
f
n
: C[0, 1] → R. Выяснить, есть ли сходимость, и определить вид схо-
димости, если
f
n
(x) =
1
R
0
t
n
· x(t)dt.
Задача 10. Найти спектр и резольвенту оператора, если

Страницы