Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 103 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа 103
Задача 8. Вычислить норму оператора, если
а) A :
f
L
3
[−2, 1] → C[−2, 1]; Ax(t) =
1
R
−2
|t| · x(s)ds;
б) A : l
1
→ l
1
; Ax =
x
1
,
x
2
2
,
x
3
3
,
x
4
4
, ...
.
Задача 9. Пусть задана последовательность функционалов
f
n
: L
2
[0, 1] → R. Выяснить, есть ли сходимость, и определить вид
сходимости, если
f
n
(x) =
1
R
0
(t
n
+ sin t) · x(t)dt.
Задача 10. Найти спектр и резольвенту оператора, если
A : C[1, 3] → C[1, 3]; Ax(t) =
3
R
1
s
2
t
x(s)ds.
Вариант XIII.
Задача 1. Вычислить норму функционала. Достигается ли норма функци-
онала на единичном шаре, если
f : C[−1, 2] → R; f(x) = 2x(2) − x(−1) +
2
R
−1
e
t
· x(t)dt.
Задача 2. Вычислить норму функционала:
f : L
4
[0, 1] → R; f(x) =
1
R
0
t · x(t)dt.
Задача 3. Найти λ, при котором норма функционала минимальна, если
f : l
1
→ R; f(x) = (2 − λ)x
1
+ (3λ + 6)x
2
− 4x
3
.
Задача 4. Представить линейный функционал f : C[−2, 2] → R в виде
интеграла Стилтьеса f(x) =
2
R
−2
x(t)dg(t). Пользуясь теоремой Рисса об общем
виде функционала, вычислить норму f, если
f(x) = x(1) +
2
R
−2
(t + 1) · x(t)dt.
Задача 5. Вычислить расстояние от элемента x
∗
до ядра линейного функ-
ционала f. Найти элемент наилучшего приближения или минимизирующую
последовательность:
f : M[−1, 2] → R f(x) =
2
R
−1
t · x(t)dt + x(1); x
∗
(t) = sgn t
Задача 6. Пусть L
0
– подпространство L. На L
0
задан линейный
функционал f
0
. Используя геометрический подход, найти все продолжения

Страницы