Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 104 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

104 Приложение. Тестовые задания
функционала f
0
на L такие, что выполняются все условия теоремы Хана–
Банаха:
L = l
2
1
, L
0
=
x ∈ l
2
1
: 3x
2
− x
1
= 0
, f
0
(x) = x
1
+ 5x
2
.
Задача 7. Пусть L
0
– подпространство L. На L
0
задан линейный функ-
ционал f
0
. Найти все линейные функционалы, заданные на L, такие что f –
продолжение f
0
и kfk = kf
0
k:
L = l
3
∞
, L
0
=
x ∈ l
3
∞
: x
1
= 0, x
2
= 2t, x
3
= −4t
, f
0
(x) = 2x
3
−x
1
.
Задача 8. Вычислить норму оператора, если
а) A : L
2
[−1, 2] → L
1
[−1, 2]; Ax(t) = t ·
2
R
−1
sgn s · x(s)ds;
б) A : l
∞
→ l
∞
; A =
x
1
,
x
2
2
,
x
3
2
2
,
x
4
2
3
, ...
.
Задача 9. Пусть задана последовательность операторов
A
n
: L
2
[0, 1] → L
2
[0, 1]. Выяснить, есть ли сходимость, и определить
вид сходимости, если
A
n
x(t) =
1
R
0
t(s
n
+ 1) · x(s)ds.
Задача 10. Найти спектр и резольвенту оператора, если
A : C[−2, 2] → C[−2, 2]; Ax(t) =
2
R
−2
|t| · sx(s)ds.
Вариант XIV
Задача 1. Вычислить норму функционала. Достигается ли норма функци-
онала на единичном шаре, если
f : C[−1, 3] → R; f(x) = 4x(−1) − x(2) +
3
R
−1
t · x(t)dt.
Задача 2. Вычислить норму функционала:
f : L
6
[0, 1] → R; f(x) =
1
R
0
t
2
· x(t)dt.
Задача 3. Найти λ, при котором норма функционала минимальна, если
f : l
∞
→ R; f(x) = 2λx
1
+ 3x
2
− (5 + λ)x
4
.

Страницы