Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 105 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа 105
Задача 4. Представить линейный функционал f : C[−1, 2] → R в виде
интеграла Стилтьеса f(x) =
2
R
−1
x(t)dg(t). Пользуясь теоремой Рисса об общем
виде функционала, вычислить норму f, если
f(x) = x(1) +
2
R
−1
(t + t
2
) · x(t)dt.
Задача 5. Вычислить расстояние от элемента x
∗
до ядра линейного функ-
ционала f. Найти элемент наилучшего приближения или минимизирующую
последовательность:
f : M[−2, 2] → R; f(x) =
2
R
−2
e
t
· x(t)dt; x
∗
(t) = sgn t + t
2
.
Задача 6. Пусть L
0
– подпространство L. На L
0
задан линейный
функционал f
0
. Используя геометрический подход, найти все продолжения
функционала f
0
на L такие, что выполняются все условия теоремы Хана–
Банаха:
L = l
2
1
, L
0
=
x ∈ l
2
1
: x
1
= x
2
, f
0
(x) = x
1
− x
2
.
Задача 7. Пусть L
0
– подпространство L. На L
0
задан линейный функ-
ционал f
0
. Найти все линейные функционалы, заданные на L, такие, что f –
продолжение f
0
и kfk = kf
0
k:
L = l
3
∞
, L
0
=
x ∈ l
3
∞
: x
2
− 2x
3
= 0
, f
0
(x) = x
1
.
Задача 8. Вычислить норму оператора, если
а) A : L
3
[−1, 1] → L
3
[−1, 1]; Ax(t) =
1
R
−1
(t + 1)s
2
· x(s)ds.
б) A : l
2
→ l
2
; Ax =
x
1
,
x
2
2
,
x
3
3
,
x
4
4
, ...
.
Задача 9. Пусть задана последовательность операторов
A
n
: C[−1, 1] → C[−1, 1]. Выяснить, есть ли сходимость, и определить
вид сходимости, если A
n
(x) =
1
R
−1
t(s
n
− 1) · x(t)dt.
Задача 10. Найти спектр и резольвенту оператора, если
A : C[−π, π] → C[−π, π]; Ax(t) =
π
R
−π
sin t cos sds.
Вариант XV.
Задача 1. Вычислить норму функционала. Достигается ли норма функци-
онала на единичном шаре, если

Страницы