Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 107 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа 107
A
n
e
k
=
e
n
, k = 1;
e
n−1
, k = 3;
0, k 6= 1, 3.
Задача 10. Найти спектр и резольвенту оператора, если
A : C[0, 2] → C[0, 2]; Ax(t) =
2
R
0
(t − 1)(s + 1)x(s)ds.
Вариант XVI
Задача 1. Вычислить норму функционала. Достигается ли норма функци-
онала на единичном шаре, если
f : C[−3, 3] → R; f(x) = 4x(−3) − x(0) +
3
R
−3
|t + 1| · x(t)dt.
Задача 2. Доказать, что функционал линейный, и вычислить его норму:
f : L
3
[−1, 1] → R; f(x) =
1
R
−1
t · x(t)dt.
Задача 3. Найти λ, при котором норма функционала минимальна, если
f : l
2
→ R; f(x) = (2 + λ)x
1
+ (3 − 6λ)x
2
− 3x
4
.
Задача 4. Представить линейный функционал f : C[−1, 1] → R в виде
интеграла Стилтьеса f(x) =
1
R
−1
x(t)dg(t). Пользуясь теоремой Рисса об общем
виде функционала, вычислить норму f, если
f(x) = 3x(0) +
1
R
−1
(t(t − 1)) · x(t)dt.
Задача 5. Вычислить расстояние от элемента x
∗
до ядра линейного функ-
ционала f. Найти элемент наилучшего приближения или минимизирующую
последовательность:
f : c
0
→ R; f(x) = x
1
− x
3
+ x
5
− x
7
+ ...; x
∗
= (2, 2, 0, 0...).
Задача 6. Пусть L
0
– подпространство L. На L
0
задан линейный
функционал f
0
. Используя геометрический подход, найти все продолжения
функционала f
0
на L такие, что выполняются все условия теоремы Хана–
Банаха:
L = l
2
∞
, L
0
=
x ∈ l
2
∞
: 3x
1
= 4x
2
, f
0
(x) = 4x
1
+ 8x
2
.
Задача 7. Пусть L
0
– подпространство L. На L
0
задан линейный функ-
ционал f
0
. Найти все линейные функционалы, заданные на L, такие, что f –

Страницы