Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 109 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа 109
f : M[−1, 4] → R; f(x) =
4
R
−1
(t − 1) · x(t)dt + x(0); x
∗
(t) = e
t
.
Задача 6. Пусть L
0
– подпространство L. На L
0
задан линейный
функционал f
0
. Используя геометрический подход, найти все продолжения
функционала f
0
на L такие, что выполняются все условия теоремы Хана–
Банаха:
L = l
2
2
, L
0
=
x ∈ l
2
2
: 2x
1
− x
2
= 0
, f
0
(x) = 4x
2
.
Задача 7. Пусть L
0
– подпространство L. На L
0
задан линейный функ-
ционал f
0
. Найти все линейные функционалы, заданные на L, такие, что f –
продолжение f
0
и kfk = kf
0
k:
L = l
3
1
, L
0
=
x ∈ l
3
1
: x
1
+ 3x
2
− 2x
3
= 0
, f
0
(x) = x
1
.
Задача 8. Вычислить норму оператора, если
а) A : C[−1, 2] → C[−1, 2]; Ax = P
2
(x), где P
2
(x) – интерполяционный
многочлен, построенный по узлам −1, 0, 2, то есть P
2
(x)(t
i
) = x(t
i
), t
1
= −1;
t
2
= 0, t
3
= 2;
б) A : l
∞
→ l
∞
; Ax = (x
1
− x
2
, x
2
− x
3
, ..., x
n
− x
n−1
, ...).
Задача 9. Пусть задана последовательность операторов A
n
: l
1
→ l
1
.
Выяснить, есть ли сходимость, и определить вид сходимости, если
A
n
= B
n
, если B : l
1
→ l
1
; Bx = (x
2
, x
1
, 0, 0, ...).
Задача 10. Найти спектр и резольвенту оператора, если
A : l
3
→ l
3
; Ax = (x
1
+ 2x
2
, x
3
− 2x
1
, x
5
, x
4
, x
6
, x
7
, x
8
, ...).
Вариант XVIII
Задача 1. Вычислить норму функционала. Достигается ли норма функци-
онала на единичном шаре, если
f : C[−2, 2] → R; f(x) =
2
R
−2
t(t − 1)(t + 1) · x(t)dt.
Задача 2. Доказать, что функционал линейный, и вычислить его норму:
f : L
6
[−2, 1] → R; f(x) =
1
R
−2
|t| · x(t)dt.
Задача 3. Найти λ, при котором норма функционала минимальна, если
f : l
∞
→ R; f(x) = 5x
1
− 10λx
2
− (4 + λ)x
8
.

Страницы