Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 110 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

110 Приложение. Тестовые задания
Задача 4. Представить линейный функционал f : C[−π, π] → R в виде
интеграла Стилтьеса f(x) =
π
R
−π
x(t)dg(t). Пользуясь теоремой Рисса об общем
виде функционала, вычислить норму f, если
f(x) = x(0) +
π
R
−π
sin t · x(t)dt.
Задача 5. Вычислить расстояние в пространстве X от элемента x
∗
∈ X до
ядра линейного функционала f, заданного на X. Найти элемент наилучшего
приближения или минимизирующую последовательность:
f : L
2
[−1, 4] → R; f(x) =
4
R
−1
(e
t
+ 1) · x(t)dt; x
∗
(t) = sgn (t − 2)
3
.
Задача 6. Пусть L
0
– подпространство L. На L
0
задан линейный
функционал f
0
. Используя геометрический подход, найти все продолжения
функционала f
0
на L такие, что выполняются все условия теоремы Хана–
Банаха:
L = l
2
2
, L
0
=
x ∈ l
2
2
: 4x
1
− 5x
2
= 0
, f
0
(x) = x
1
+ 2x
2
.
Задача 7. Пусть L
0
– подпространство L. На L
0
задан линейный функ-
ционал f
0
. Найти все линейные функционалы, заданные на L, такие, что f –
продолжение f
0
и kfk = kf
0
k:
L = l
3
1
, L
0
=
x ∈ l
3
1
: 2x
1
− x
3
= 0
, f
0
(x) = x
2
− x
3
.
Задача 8. Вычислить норму оператора, если
а) A : L
2
[0, 2] → L
2
[0, 2]; Ax(t) =
2
R
0
sign (t − 1) · x(s)ds;
б) A : l
1
→ l
∞
; Ax = (x
1
− x
2
, x
2
− x
3
, ..., x
n
− x
n−1
, ...)
Задача 9. Пусть задана последовательность операторов A
n
: l
∞
→ l
∞
.
Выяснить, есть ли сходимость, и определить вид сходимости, если
A
n
: l
∞
→ l
∞
= B
n
, если B : l
∞
→ l
∞
; Bx =
x
1
,
x
2
3
,
x
3
3
2
, 0, 0, ...
.
Задача 10. Найти спектр и резольвенту оператора, если
A : l
1
→ l
1
; Ax = (x
1
− x
2
, x
2
− x
3
, x
3
− x
4
, ...).
Вариант XIX
Задача 1. Вычислить норму функционала. Достигается ли норма функци-
онала на единичном шаре, если

Страницы