Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 111 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа 111
f : C[0, 2π] → R; f(x) =
2π
R
0
(sin t + cos t) · x(t)dt.
Задача 2. Доказать, что функционал линейный, и вычислить его норму:
f : L
2
[−2, 3] → R; f(x) =
3
R
−2
(t − 1)
2
· x(t)dt.
Задача 3. Найти λ, при котором норма функционала минимальна, если
f : l
3
→ R; f(x) = x
1
− (1 − λ)x
2
+ 4λx
4
.
Задача 4. Представить линейный функционал f : C[0, 5] → R в виде инте-
грала Стилтьеса f(x) =
5
R
0
x(t)dg(t). Пользуясь теоремой Рисса об общем виде
функционала, вычислить норму f, если
f : C[0, 5] → R; f(x) = x(0) − x(1) + 3x(2) − 5x(4).
Задача 5. Вычислить расстояние от элемента x
∗
до ядра линейного функ-
ционала f. Найти элемент наилучшего приближения или минимизирующую
последовательность:
f : l
∞
→ R; f(x) = 4x
1
− x
2
+ 6x
3
− x
4
; x
∗
= (2, 1, 0, −1, 0, 0, ...).
Задача 6. Пусть L
0
– подпространство L. На L
0
задан линейный
функционал f
0
. Используя геометрический подход, найти все продолжения
функционала f
0
на L такие, что выполняются все условия теоремы Хана–
Банаха:
L = l
2
1
, L
0
=
x ∈ l
2
1
: 3x
1
+ 4x
2
= 0
, f
0
(x) = x
1
− 6x
2
.
Задача 7. Пусть L
0
– подпространство L. На L
0
задан линейный функ-
ционал f
0
. Найти все линейные функционалы, заданные на L, такие, что f –
продолжение f
0
и kfk = kf
0
k:
L = l
3
∞
, L
0
=
x ∈ l
3
∞
: x
1
= 4t, x
2
= t, x
3
= −3t
,
f
0
(x) = x
1
+ x
3
.
Задача 8. Вычислить норму оператора, если
а) A : M[0, 3] → M[0, 3]; Ax(t) = x(3) + e
t
x(0);
б) A : l
∞
→ l
∞
; Ax = (x
1
− x
1
, x
2
− x
1
, x
3
− x
1
, ..., x
n
− x
1
, ...).
Задача 9. Пусть задана последовательность операторов A
n
: l
1
→ l
1
.
Выяснить, есть ли сходимость, и определить вид сходимости, если

Страницы