Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 113 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа 113
L = l
3
∞
, L
0
=
x ∈ l
3
∞
: x
1
= 0, x
2
= 0, x
3
= −5t
, f
0
(x) = x
1
−2x
2
+3x
3
.
Задача 8. Вычислить норму оператора, если
а) A : L
1
[−1, 2] → L
1
[−1, 2]; Ax(t) =
2
R
−1
t
2
s
2
· x(s)ds;
б) A : l
3
2
→ l
3
2
; A – оператор проектирования на координатную
плоскость O
x
1
,x
2
.
Задача 9. Пусть задана последовательность операторов A
n
: l
1
→ l
1
. Вы-
яснить, есть ли сходимость, и определить вид сходимости, если
A
n
e
k
=
e
n
, k = 1;
e
2
, k = 2;
0, k 6= 1, 2.
Задача 10. Найти спектр и резольвенту оператора, если
A : l
1
→ l
1
; Ax = (x
1
, x
1
+ x
2
, x
1
+ x
2
+ x
3
, ...).
Вариант XXI.
Задача 1. Вычислить норму функционала. Достигается ли норма функци-
онала на единичном шаре, если
f : C[−2, 1] → R; f(x) =
1
R
−2
(t
2
− 1) · x(t)dt.
Задача 2. Доказать, что функционал линейный, и вычислить его норму:
f : L
3
[−π, π] → R; f(x) =
π
R
−π
(sin t · cos t) · x(t)dt.
Задача 3. Найти λ, при котором норма функционала минимальна, если
f : l
∞
→ R; f(x) = (21 − 7λ)x
1
− x
2
+ (10 + λ)x
4
.
Задача 4. Представить линейный функционал f : C[−2, 2] → R в виде
интеграла Стилтьеса f(x) =
2
R
−2
x(t)dg(t). Пользуясь теоремой Рисса об общем
виде функционала, вычислить норму f, если
f(x) = x(0) −4x(1) +
2
R
−2
(1 + t) · x(t)dt.
Задача 5. Вычислить расстояние от элемента x
∗
до ядра линейного функ-
ционала f. Найти элемент наилучшего приближения или минимизирующую
последовательность:
f : C[−3, 4] → R; f(x) =
4
R
−3
(t + 2) · x(t)dt; x
∗
(t) = |t|.

Страницы