Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 115 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа 115
Задача 4. Представить линейный функционал f : C[−2, 3] → R в виде
интеграла Стилтьеса f(x) =
3
R
−2
x(t)dg(t). Пользуясь теоремой Рисса об общем
виде функционала, вычислить норму f, если
f(x) = 2x(0) +
3
R
−2
(t − 3) · x(t)dt.
Задача 5. Вычислить расстояние от элемента x
∗
до ядра линейного функ-
ционала f. Найти элемент наилучшего приближения или минимизирующую
последовательность:
f : M[−3, 2] → R; f(x) = x(0)−x(1)+
2
R
−3
t·x(t)dt; x
∗
(t) = sgn (t(t−1)).
Задача 6. Пусть L
0
– подпространство L. На L
0
задан линейный
функционал f
0
. Используя геометрический подход, найти все продолжения
функционала f
0
на L такие, что выполняются все условия теоремы Хана–
Банаха:
L = l
2
∞
, L
0
=
x ∈ l
2
∞
: x
1
− 4x
2
= 0
, f
0
(x) = 2x
1
.
Задача 7. Пусть L
0
– подпространство L. На L
0
задан линейный функ-
ционал f
0
. Найти все линейные функционалы, заданные на L, такие, что f –
продолжение f
0
и kfk = kf
0
k:
L = l
3
1
, L
0
=
x ∈ l
3
1
: x
2
+ x
3
= 0
, f
0
(x) = 2x
1
− 3x
2
.
Задача 8. Вычислить норму оператора, если
а) A : L
2
[−2, 2] → L
1
[−2, 2]; Ax(t) =
2
R
−2
(t + 1)
2
· x(s)ds;
б) A : l
3
2
→ l
3
2
; A =
2 2 −1
2 −1 2
−1 2 2
.
Задача 9. Пусть задана последовательность операторов
A
n
: M[−1, 1] → M[−1, 1]. Выяснить, есть ли сходимость, и опреде-
лить вид сходимости, если
A
n
: M[−1, 1] → M[−1, 1]; A
n
x(t) = t
n
x(0) + e
t
x(1).
Задача 10. Найти спектр и резольвенту оператора, если
A : C[1, 2] → C[1, 2]; Ax(t) =
t
R
1
s · tx(s)ds.

Страницы