Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 116 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

116 Приложение. Тестовые задания
Вариант XXIII
Задача 1. Вычислить норму функционала. Достигается ли норма функци-
онала на единичном шаре, если
f : C[0, 2π] → R; f(x) =
2π
R
0
(sin 2t cos t + cos 2t sin t) · x(t)dt − x(0).
Задача 2. Доказать, что функционал линейный, и вычислить его норму:
f : L
2
[−2π, 0] → R; f(x) =
0
R
−2π
sin
2
t · x(t)dt.
Задача 3. Найти λ, при котором норма функционала минимальна, если
f : l
5
→ R; f(x) = (2 + λ)x
1
− x
2
− λx
3
.
Задача 4. Представить линейный функционал f : C[0, 2π] → R в виде
интеграла Стилтьеса f(x) =
2π
R
0
x(t)dg(t). Пользуясь теоремой Рисса об общем
виде функционала, вычислить норму f, если
f(x) = 2x(π) −
2π
R
0
(sin t + cos t) · x(t)dt.
Задача 5. Вычислить расстояние от элемента x
∗
до ядра линейного функ-
ционала f. Найти элемент наилучшего приближения или минимизирующую
последовательность.:
f : C[−1, 1] → R; f(x) =
0
R
−1
x(t)dt −
1
R
0
x(t)dt; x
∗
(t) = e
t
+ 2.
Задача 6. Пусть L
0
– подпространство L. На L
0
задан линейный
функционал f
0
. Используя геометрический подход, найти все продолжения
функционала f
0
на L такие, что выполняются все условия теоремы Хана–
Банаха:
L = l
2
2
, L
0
=
x ∈ l
2
2
: x
1
+ 5x
2
= 0
, f
0
(x) = x
1
− 4x
2
.
Задача 7. Пусть L
0
– подпространство L. На L
0
задан линейный функ-
ционал f
0
. Найти все линейные функционалы, заданные на L, такие, что f –
продолжение f
0
и kfk = kf
0
k:
L = l
3
∞
, L
0
=
x ∈ l
3
∞
: x
1
+ 4x
2
= 0
, f
0
(x) = x
1
+ x
2
− x
3
.
Задача 8. Вычислить норму оператора, если
а) A : M[−2, 1] → M[−2, 1]; Ax(t) = x(−2) · t + x(1) · (t
2
+ 1);
б) A : l
2
→ l
1
; Ax = (x
1
, 2x
2
, 3x
3
, 0, 0, ...).

Страницы