ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа 117
Задача 9. Пусть задана последовательность операторов A
n
: l
1
→ l
1
.
Выяснить, есть ли сходимость, и определить вид сходимости, если
A
n
x = (x
n
, x
n+1
, ...).
Задача 10. Найти спектр и резольвенту оператора, если
A : C[1, 2] → C[1, 2]; Ax(t) =
t
R
1
s
2
· tx(s)ds.
Вариант XXIV
Задача 1. Вычислить норму функционала. Достигается ли норма функци-
онала на единичном шаре, если
f : C[0, 5] → R; f(x) =
5
R
0
|t − 2| · x(t)dt − 2x(1).
Задача 2. Доказать, что функционал линейный, и вычислить его норму:
f : L
3
[−5, 1] → R; f(x) =
1
R
−5
t
4
· x(t)dt.
Задача 3. Найти λ, при котором норма функционала минимальна, если
f : l
1
→ R; f(x) = (9 + λ)x
1
− 2x
2
+ (20 − 2λ)x
5
.
Задача 4. Представить линейный функционал f : C[0, 7] → R в виде
интеграла Стилтьеса f(x) =
7
R
0
x(t)dg(t). Пользуясь теоремой Рисса об общем
виде функционала, вычислить норму f, если
f(x) = 2x(0) − x(1) + 3x(6) − 4x(5).
Задача 5. Вычислить расстояние от элемента x
∗
до ядра линейного функ-
ционала f. Найти элемент наилучшего приближения или минимизирующую
последовательность:
f : l
∞
→ R; f(x) =
∞
P
k=1
x
k
2
k
; x
∗
= (1, 1, 1, ...).
Задача 6. Пусть L
0
– подпространство L. На L
0
задан линейный
функционал f
0
. Используя геометрический подход, найти все продолжения
функционала f
0
на L такие что выполняются все условия теоремы Хана–
Банаха:
L = l
2
2
, L
0
=
x ∈ l
2
2
: 2x
1
+ 3x
2
= 0
, f
0
(x) = 2x
1
− x
2
.
