Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 114 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

114 Приложение. Тестовые задания
Задача 6. Пусть L
0
– подпространство L. На L
0
задан линейный
функционал f
0
. Используя геометрический подход, найти все продолжения
функционала f
0
на L такие, что выполняются все условия теоремы Хана–
Банаха:
L = l
2
∞
, L
0
=
x ∈ l
2
∞
: 3x
1
− x
2
= 0
, f
0
(x) = 3x
1
− x
2
.
Задача 7. Пусть L
0
– подпространство L. На L
0
задан линейный функ-
ционал f
0
. Найти все линейные функционалы, заданные на L, такие, что f –
продолжение f
0
и kfk = kf
0
k:
L = l
3
1
, L
0
=
x ∈ l
3
1
: x
1
= 0
, f
0
(x) = 4x
1
+ 5x
2
− 6x
3
.
Задача 8. Вычислить норму оператора, если
а) A : C[−2, 3] → C[−2, 3]; Ax(t) = tx(−2) + t
2
x(0) + t
3
x(3);
б) A : l
2
2
→ l
2
2
; A – оператор поворота на 30
◦
против часовой стрелки.
Задача 9. Пусть задана последовательность операторов
A
n
: C[0, 1] → C[0, 1]. Выяснить, есть ли сходимость, и определить вид
сходимости, если
A
n
= B
n
, если B : C[0, 1] → C[0, 1]; Bx(t) =
1
R
0
ts · x(s)ds.
Задача 10. Найти спектр и резольвенту оператора, если
A : C[0, 1] → C[0, 1]; Ax(t) =
t
R
0
sx(s)ds.
Вариант XXII
Задача 1. Вычислить норму функционала. Достигается ли норма функци-
онала на единичном шаре, если
f : C[−3, 3] → R; f(x) =
3
R
−3
t · x(t)dt − x(0) + x(1).
Задача 2. Доказать, что функционал линейный, и вычислить его норму:
f : L
2
[−3, −2] → R; f(x) =
2
R
−3
t · x(t)dt.
Задача 3. Найти λ, при котором норма функционала минимальна, если
f : l
4
→ R; f(x) = (λ + 1)x
1
+ 2x
2
− λx
3
.

Страницы