Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 112 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

112 Приложение. Тестовые задания
A
n
= B
n
, если B : l
1
→ l
1
; Bx =
x
1
,
x
2
2
,
x
3
2
2
, 0, 0, ...
.
Задача 10. Найти спектр и резольвенту оператора, если
A : l
1
→ l
1
; Ax = (x
1
, 0, x
3
, 0, x
5
, 0, ...).
Вариант XX
Задача 1. Вычислить норму функционала. Достигается ли норма функци-
онала на единичном шаре, если
f : C[−3, 0] → R; f(x) = 2x(0) +
0
R
−3
t
3
· x(t)dt.
Задача 2. Доказать, что функционал линейный, и вычислить его норму:
f : L
4
[−2, 2] → R; f(x) =
2
R
−2
(t − 1)
3
· x(t)dt.
Задача 3. Найти λ, при котором норма функционала минимальна, если
f : l
1
→ R; f(x) = (2 + λ)x
1
− x
2
+ (8 − 2λ)x
3
.
Задача 4. Представить линейный функционал f : C[−2, 3] → R в виде
интеграла Стилтьеса f(x) =
3
R
−2
x(t)dg(t). Пользуясь теоремой Рисса об общем
виде функционала, вычислить норму f, если
f(x) = 3x(−1) −
3
R
−2
t · x(t)dt.
Задача 5. Вычислить расстояние от элемента x
∗
до ядра линейного функ-
ционала f. Найти элемент наилучшего приближения или минимизирующую
последовательность:
f : l
1
→ R; f(x) = x
1
+
x
2
2
+
x
3
3
+ ...; x
∗
(t) =
1,
2
2
1
,
3
2
2
,
4
2
3
, ...
.
Задача 6. Пусть L
0
– подпространство L. На L
0
задан линейный
функционал f
0
. Используя геометрический подход, найти все продолжения
функционала f
0
на L такие, что выполняются все условия теоремы Хана–
Банаха:
L = l
2
1
, L
0
=
x ∈ l
2
1
: x
1
− x
2
= 0
, f
0
(x) = 2x
1
− x
2
.
Задача 7. Пусть L
0
– подпространство L. На L
0
задан линейный функ-
ционал f
0
. Найти все линейные функционалы, заданные на L, такие, что f –
продолжение f
0
и kfk = kf
0
k:

Страницы