Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 108 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

108 Приложение. Тестовые задания
продолжение f
0
и kfk = kf
0
k:
L = l
3
1
, L
0
=
x ∈ l
3
1
: x
1
= 3t, x
2
= t, x
3
= −t
, f
0
(x) = 4x
2
.
Задача 8. Вычислить норму оператора, если
а) A : C[1, 2] → C[1, 2]; Ax(t) = (x(2) − x(1))t + 2x(1) − x(2);
б) A : l
4
2
→ l
4
2
; A =
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
.
Задача 9. Пусть задана последовательность операторов A
n
: l
2
→ l
2
. Вы-
яснить, есть ли сходимость, и определить вид сходимости, если
A
n
e
k
=
e
n−1
, k = 1;
e
n+1
, k = 3;
0, k 6= 1, 3.
Задача 10. Найти спектр и резольвенту оператора, если
A : l
2
→ l
2
; Ax = (x
1
− x
3
, x
2
− x
3
, x
3
− x
3
, x
4
, x
5
, ...).
Вариант XVII
Задача 1. Вычислить норму функционала. Достигается ли норма функци-
онала на единичном шаре, если
f : C[0, 2] → R; f(x) = 2x(0) − 4x(1) −
2
R
0
|t − 1| · x(t)dt.
Задача 2. Доказать, что функционал линейный, и вычислить его норму:
f : L
4
[−1, 2] → R; f(x) =
1
R
2
t
2
· x(t)dt.
Задача 3. Найти λ, при котором норма функционала минимальна, если
f : l
1
→ R; f(x) = (5 + λ)x
1
+ (10 − λ)x
2
− 11x
4
.
Задача 4. Представить линейный функционал f : C[−3, 1] → R в виде
интеграла Стилтьеса f(x) =
1
R
−3
x(t)dg(t). Пользуясь теоремой Рисса об общем
виде функционала, вычислить норму f, если
f(x) = 2x(−2) − 4x(1) + 5x(−1).
Задача 5. Вычислить расстояние от элемента x
∗
до ядра линейного функ-
ционала f. Найти элемент наилучшего приближения или минимизирующую
последовательность:

Страницы