Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 106 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

106 Приложение. Тестовые задания
f : C[−2, 2] → R; f(x) = x(−1) −
2
R
−2
|t| · x(t)dt.
Задача 2. Доказать, что функционал линейный, и вычислить его норму:
f : L
2
[0, 1] → R; f(x) =
1
R
0
e
2t
· x(t)dt.
Задача 3. Найти λ, при котором норма функционала минимальна, если
f : l
3
→ R; f(x) = (4 + λ)x
1
− 5x
2
+ 6λx
3
.
Задача 4. Представить линейный функционал f : C[0, 2] → R в виде инте-
грала Стилтьеса f(x) =
2
R
0
x(t)dg(t). Пользуясь теоремой Рисса об общем виде
функционала, вычислить норму f, если
f(x) = 2x(1) −
2
R
0
(1 + e
t
) · x(t)dt.
Задача 5. Вычислить расстояние от элемента x
∗
до ядра линейного функ-
ционала f. Найти элемент наилучшего приближения или минимизирующую
последовательность:
f : l
4
2
→ R; f(x) = x
1
− 3x
2
+ x
4
; x
∗
(t) = (1, 0, −1, 0).
Задача 6. Пусть L
0
– подпространство L. На L
0
задан линейный
функционал f
0
. Используя геометрический подход, найти все продолжения
функционала f
0
на L такие, что выполняются все условия теоремы Хана–
Банаха:
L = l
2
∞
, L
0
=
x ∈ l
2
∞
: 2x
1
= x
2
, f
0
(x) = 2x
1
+ x
2
.
Задача 7. Пусть L
0
– подпространство L. На L
0
задан линейный функ-
ционал f
0
. Найти все линейные функционалы, заданные на L, такие, что f –
продолжение f
0
и kfk = kf
0
k:
L = l
3
1
, L
0
=
x ∈ l
3
1
: x
1
= −2t, x
2
= 0, x
3
= 2t
, f
0
(x) = 2x
2
− x
3
.
Задача 8. Вычислить норму оператора, если
а) A : C[−4, 1] → C[−4, 1]; Ax(t) = t ·x(0) +
1
R
−4
x(s)ds.
б) A : l
2
→ l
1
; Ax =
x
1
,
x
2
2
,
x
3
3
,
x
4
4
, ...
.
Задача 9. Пусть задана последовательность операторов A
n
: l
∞
→ l
∞
.
Выяснить, есть ли сходимость, и определить вид сходимости, если

Страницы