Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 102 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

102 Приложение. Тестовые задания
A : C[0, 2] → C[0, 2]; Ax(t) =
2
R
0
e
t
· sx(s)ds.
Вариант XII
Задача 1. Вычислить норму функционала. Достигается ли норма функци-
онала на единичном шаре, если
f : C[−1, 1] → R; f(x) = −4x(−1) + 6x(0) +
1
R
−1
x(t)dt.
Задача 2. Вычислить норму функционала:
f : L
2
[0, 2π] → R; f(x) =
2π
R
0
cos
2
t · x(t)dt.
Задача 3. Найти λ, при котором норма функционала минимальна, если
f : l
3
→ R; f(x) = λx
1
− 2x
2
+ (5 − 2λ)x
3
.
Задача 4. Представить линейный функционал f : C[−1, 3] → R в виде
интеграла Стилтьеса f(x) =
3
R
−1
x(t)dg(t). Пользуясь теоремой Рисса об общем
виде функционала, вычислить норму f, если
f(x) = 2x
1
2
+ x(1) +
3
R
−1
|t| · x(t)dt.
Задача 5. Вычислить расстояние от элемента x
∗
до ядра линейного функ-
ционала f. Найти элемент наилучшего приближения или минимизирующую
последовательность:
f : L
2
[−1, 3] → R
f(x) =
3
R
−1
(t
2
− 1) · x(t)dt; x
∗
(t) = e
t
Задача 6. Пусть L
0
– подпространство L. На L
0
задан линейный
функционал f
0
. Используя геометрический подход, найти все продолжения
функционала f
0
на L такие, что выполняются все условия теоремы Хана–
Банаха:
L = l
2
2
, L
0
=
x ∈ l
2
2
: x
1
− 5x
2
= 0
, f
0
(x) = x
1
.
Задача 7. Пусть L
0
– подпространство L. На L
0
задан линейный функ-
ционал f
0
. Найти все линейные функционалы, заданные на L, такие что f –
продолжение f
0
и kfk = kf
0
k:
L = l
3
∞
, L
0
=
x ∈ l
3
∞
: x
1
= −2t, x
2
= t, x
3
= 3t
,
f
0
(x) = 2x
1
− x
3
.

Страницы