Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 91 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа 91
f : L
4
[0, 1] → R; f(x) =
1
R
0
t
2
· x(t)dt.
Задача 3. Найти λ, при котором норма функционала минимальна, если
f : l
2
→ R; f(x) = 6x
2
− x
3
+ (λ
2
+ λ)x
4
.
Задача 4. Представить линейный функционал f : C[−2, 1] → R в виде
интеграла Стилтьеса f(x) =
1
R
−2
x(t)dg(t). Пользуясь теоремой Рисса об общем
виде функционала, вычислить норму f, если
f(x) = x(−2) − 2x(0) + x(1).
Задача 5. Вычислить расстояние от элемента x
∗
до ядра линейного функ-
ционала f. Найти элемент наилучшего приближения или минимизирующую
последовательность:
f : l
2
→ R; f(x) = x
1
− 2x
2
+ 3x
3
; x
∗
= (1, 0, 1, 0, 0, ...).
Задача 6. Пусть L
0
– подпространство L. На L
0
задан линейный
функционал f
0
. Используя геометрический подход, найти все продолжения
функционала f
0
на L такие, что выполняются все условия теоремы Хана–
Банаха:
L = l
2
2
, L
0
=
x ∈ l
2
2
: x
1
− 3x
2
= 0
, f
0
(x) = x
1
.
Задача 7. Пусть L
0
– подпространство L. На L
0
задан линейный функ-
ционал f
0
. Найти все линейные функционалы, заданные на L, такие, что f –
продолжение f
0
и kfk = kf
0
k:
L = l
3
1
, L
0
=
x ∈ l
3
1
: x
1
− x
2
= 0
, f
0
(x) = x
1
+ x
3
.
Задача 8. Вычислить норму оператора, если
а) f : L
1
[−1, 1] → L
1
[−1, 1]; Ax(t) =
1
R
−1
t · s · x(s)ds;
б) f : l
3
2
→ l
3
2
; A =
17 −8 4
−8 17 −4
4 −4 11
.
Задача 9. Пусть задана последовательность функционалов
f
n
: L
1
[0, 1] → R. Выяснить, есть ли сходимость, и определить вид
сходимости, если A
n
(x) =
1
R
0
e
t
2
n
· x(t)dt.

Страницы