Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 86 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

86 § 14. Спектр оператора
x(0) = −
y(0)
λ
. Тогда R
λ
(y) = x(t) = −
y(t)
λ
−
y(0)
λ
2
t. Резольвента операто-
ра A является оператором, определенным при всех y ∈ C[0, 1]. Кроме того,
kR
λ
k ≤
1
|λ|
+
1
|λ
2
|
.
Итак, σ(A) = {0}.
Задача 14.1. Найти спектр оператора A : E → E, если
1) E = C[−1, 2], Ax(t) = t
2
x(0) + tx(2);
2) E = l
1
, Ax = (x
1
, 3x
1
+ x
2
, x
4
, x
3
, x
5
, x
6
, ...);
3) E = C[−1, 1], Ax(t) =
1
R
−1
e
1+t
x(s)ds;
4) E = C[0, 1], Ax(t) =
t
R
0
sx(s)ds.
Перечислим некоторые свойства спектра.
Теорема 14.1. Пусть A – ограниченный линейный оператор, действую-
щий в банаховом пространстве X. Тогда
1) спектр – это замкнутое множество;
2) спектр оператора A содержится в отрезке [−kAk, kAk].
Если A – компактный оператор, то можно привести дополнительные свой-
ства спектра.
Теорема 14.2. Пусть A – компактный оператор, действующий в бана-
ховом пространстве. Тогда
1) число λ = 0 всегда принадлежит спектру оператора;
2) если λ 6= 0, то λ или собственное или регулярное значение оператора;
3) спектр оператора содержит конечное или счетное множество точек;
4) если спектр состоит из счетного числа точек, то он имеет единствен-
ную предельную точку λ = 0.
Пример 14.3. Найти спектр и резольвенту оператора
A : C[0, 1] → C[0, 1], если он определяется равенством
Ax(t) =
t
Z
0
x(s)ds.
Решение. Оператор A компактен (доказать самостоятельно). Поэтому до-
статочно найти его собственные значения. Пусть λ 6= 0. Решим уравнение
t
Z
0
x(s)ds = λx(t).

Страницы