ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
14.
Спектр оператора
В этом разделе рассмотрим одно из самых важных понятий теории опера-
торов – понятие спектра.
В разных разделах математики часто приходится решать уравнения вида
Ax − λx = y, (14.1)
где A – некоторый линейный ограниченный оператор, действующий в банахо-
вом пространстве X, λ – заданное число.
При решении (14.1) возникают естественные вопросы: имеет ли это урав-
нение решение при данном y, если имеет, то единственное ли оно, имеет ли
уравнение решение при любом y?
Перепишем (14.1) в виде
(A − λI)x = y. (14.2)
Пусть уравнение (14.2) имеет единственное решение при любом y ∈ X.
Тогда из теоремы Банаха об обратном операторе следует, что оператор
R
λ
= R
λ
(A) = (A − λI)
−1
ограничен. Отметим, что R
λ
(A) называется ре-
зольвентой оператора A, а λ, при котором R
λ
(A) является ограниченным
оператором, называется регулярным значением. Совокупность всех осталь-
ных значений λ называется спектром оператора A и обозначается σ(A).
Спектр оператора в свою очередь разделяется на дискретную и непре-
рывную части. К дискретной части относятся собственные значения опе-
ратора A, то есть те λ, при которых найдется ненулевое решение уравнения
(A − λI)x = 0. В этом случае оператор R
λ
(A) не существует.
Непрерывная часть спектра состоит из тех λ, для которых оператор R
λ
(A)
существует, но определен не на всем X (и, возможно, не ограничен).
Приведем примеры нахождения спектра оператора.
Пример 14.1. Найти спектр оператора A : C[0, 1] → C[0, 1], заданного
формулой
Ax(t) = tx(t).
84
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 82
- 83
- 84
- 85
- 86
- …
- следующая ›
- последняя »
