Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 82 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

82 § 13. Компактные операторы
Задача 13.13. Доказать, что оператор A : L
2
[a, b] → L
2
[a, b], заданный
формулой
Ax(t) =
b
Z
a
K(s, t)x(s)ds,
является компактным, если
b
R
a
b
R
a
|K(s, t)|
2
dsdt < ∞.
Указание. Построить последовательность операторов
A
n
x(t) =
b
Z
a
K
n
(s, t)x(s)ds.
Здесь K
n
(s, t) – непрерывные функции и
b
R
a
b
R
a
|K(s, t) − K
n
(s, t)|
2
dsdt → 0.
Затем доказать, что kA
n
− Ak → 0, и использовать теорему 13.1.
Пример 13.3. Доказать, что оператор A : l
4
→ l
4
является компакт-
ным, если
Ax =
x
1
,
x
2
2
,
x
3
3
, ...
.
Решение. Используем критерий предкомпактности в пространстве l
4
(тео-
рема 13.5). Пусть M – ограниченное множество в l
4
, то есть kmk
l
4
≤ c. Тогда
kAmk
l
4
=
∞
X
k=1
m
k
k
4
!
1
4
≤ kmk
l
4
≤ c.
Ограниченность множества A(M) доказали. Перейдем к доказательству второ-
го свойства.
Имеем
∞
X
k=n+1
|(Am)
k
|
4
!
1
4
=
∞
X
k=n+1
m
k
k
4
!
1
4
≤ c ·
∞
X
k=n+1
1
k
4
!
1
4
;
здесь учли, что так как kmk
l
4
=
∞
P
k=1
|m
k
|
4
1
4
≤ c, то |m
k
| ≤ c для любого k.
Заметим, что ряд
∞
P
k=1
1
k
4
1
4
сходится, значит, остаток этого ряда можно
сделать сколь угодно малым числом. Найдем n
0
так, что
∞
P
k=n
0
+1
1
k
4
!
1
4
<
ε
c
.

Страницы