Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа 67
здесь ϕ, ψ ∈ C[a, b] и ϕ, ψ не равны нулю тождественно. Кроме того,
γ =
1
Z
0
ϕ(t)ψ(t))dt 6=
1
λ
.
Доказать, что оператор A непрерывно обратим и
A
−1
y(t) = y(t) +
λ
1 −λγ
1
Z
0
ϕ(t)ψ(s)y(s)ds.
Пример 11.3. Рассмотрим оператор A : C[0, 1] → C[0, 1], заданный фор-
мулой
Ax(t) =
t
Z
0
x(s)ds + x(t).
Доказать, что A непрерывно обратим, и найти оператор A
−1
.
Решение. Рассмотрим уравнение
Ax(t) = x(t) +
t
Z
0
x(s)ds = y(t),
где y ∈ C[0, 1].
Обозначим g(t) =
t
R
0
x(s)ds. Заметим, что g(0) = 0 и g – непрерывно диффе-
ренцируемая функция, для которой g
0
(t) = x(t).
Так как x(t) = y(t) − g(t), то мы получаем дифференциальное уравнение
g
0
(t) = y(t) − g(t).
Сначала решим однородное уравнение g
0
(t) + g(t) = 0. Тогда g(t) = c · e
−t
.
Используем метод вариации произвольной постоянной. Пусть g(t) = c(t)e
−t
.
Подставим g(t) в неоднородное дифференциальное уравнение. Получим
c
0
(t) = e
t
y(t).
Отсюда следует, что
c(t) =
t
Z
0
e
s
y(s)ds + γ.

Страницы