Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

64 § 11. Обратные операторы
Если же оператор A имеет левый обратный оператор, то уравнение
Ax = y может иметь не более одного решения.
Замечание. В первом случае говорят, что для уравнения (11.1) справедлива
теорема существования, а во втором – теорема единственности.
Отметим, что к уравнениям (11.1) относятся линейные алгебраические си-
стемы, линейные интегральные и дифференциальные уравнения. Поэтому на-
хождение обратного оператора и установление условий, при которых этот опе-
ратор существует, является важной задачей.
Задача 11.2. Доказать, что если A – линейный оператор и A обратим,
то A
−1
также линейный оператор.
Если у оператора A существует непрерывный обратный, то говорят, что A
непрерывно обратим. Из линейности оператора A следует линейность обрат-
ного оператора. Однако, как показывает приводимый ниже пример, из непре-
рывности оператора A в общем случае не следует непрерывность обратного
оператора.
Пример 11.1. Пусть A : C[0, 2] → C[0, 2] и A задается формулой
Ax(t) =
t
Z
0
x(τ)dτ.
Доказать, что A – непрерывный оператор, а обратный оператор A
−1
не
является непрерывным.
Решение. Сначала докажем, что A – непрерывный оператор. Так как
kAxk
C[0,2]
≤ max
t∈[0,2]
t
Z
0
|x(τ)|dτ ≤ 2 · kxk
C[0,2]
,
то kAk ≤ 2. Следовательно, A – ограниченный оператор. В силу линейности
оператора A из ограниченности следует его непрерывность.
Найдем теперь обратный оператор. Заметим, что область значений опера-
тора A – это непрерывно дифференцируемые функции, которые в нуле равны
нулю. Определим на области значений Im(A) оператор
A
−1
y(t) = y
0
(t).
Несложно проверить, что A
−1
действительно будет обратным оператором.
Докажем, что A
−1
не является непрерывным оператором. Для этого рассмот-
рим последовательность y
n
(t) =
sin nt
n
. Заметим, что последовательность {y
n
}
принадлежит области значений оператора A. Из определения оператора A
−1

Страницы