Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа 61
Так как x ∈ l
1
, то ряд
∞
P
i=1
|x
i
| сходится. Тогда остаток этого ряда
∞
P
i=n+1
|x
i
|
стремится к нулю. Таким образом, {A
n
} сходится к единичному оператору по-
точечно.
Проверим, будет ли последовательность сходиться равномерно. Пусть, как
обычно, e
n+1
= (0, ··· , 0
| {z }
n
, 1, 0, ···). Заметим, что A
n
e
n+1
= 0. Тогда
kA
n
e
n+1
− e
n+1
k
l
1
= ke
n+1
k
l
1
= 1.
Так как
kA
n
− Ik ≥
kA
n
e
n+1
− e
n+1
k
l
1
ke
n+1k
l
1
= 1,
то отсюда следует, что равномерной сходимости нет.
Пример 10.3. Исследовать последовательность операторов A
n
:
C[0, 1] → L
2
[0, 1] на равномерную и поточечную сходимость, если оператор
A
n
задан формулой
A
n
x(t) = (t
n
− −sin t)x(t).
Решение. Рассмотрим оператор Ax(t) = (sin t)x(t), действующий из C[0, 1]
в L
2
[0, 1]. Используя определение нормы в пространстве L
2
[0, 1], получим
k(A
n
− A)xk
L
2
[0,1]
=
1
Z
0
|t
n
x(t)|
2
dt
1
2
.
Оценку можно продолжить, так как |x(t)| ≤ kxk
C[0,1]
. Имеем
1
Z
0
|t
n
x(t)|
2
dt
1
2
≤
r
1
2n + 1
kxk
C[0,1]
.
Тогда kA
n
− Ak ≤
q
1
2n+1
.
То есть последовательность операторов {A
n
} сходится к оператору A рав-
номерно. Из равномерной сходимости всегда следует поточечная сходимость.
Итак, заданная последовательность операторов сходится равномерно и пото-
чечно к оператору A.
Пример 10.4. Доказать, что последовательность операторов {A
n
}, дей-
ствующих в C[0, 1] и заданных формулой
A
n
x(t) = (t
n
(1 − t) + e
n−1
n
)x(t),
сходится равном ерно.

Страницы