Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

58 S§ 10. Пространство линейных ограниченных операторов
Докажем теперь, что нет равномерной сходимости. Пусть x
n
(t) = t
n−1
. Тогда
|A
n
x
n
(t) − x
n
(t)| = |n
t+
1
n
Z
t
τ
n−1
dτ − t
n−1
| = |(t +
1
n
)
n
− t
n
− t
n−1
|.
Учитывая, что kx
n
k
C[0,1]
= max
t∈[0,1]
t
n−1
= 1, получим
kA
n
− Ik ≥
kA
n
x
n
− x
n
k
C[0,1]
kx
n
k
C[0,1]
≥ |A
n
x
n
(1) − x
n
(1)| = |(1 +
1
n
)
n
− 2|.
Так как lim
n→∞
(1 +
1
n
)
n
= e, то kA
n
− Ik не сходится к нулю. Следовательно, мы
доказали, что последовательность равномерно не сходится.
Приведем критерий поточечной сходимости операторов. Для этого сначала
сформулируем принцип равномерной ограниченности.
Теорема 10.2 (Банах–Штейнгауз). Если последовательность {A
n
} линей-
ных непрерывных операторов, переводящих банахово пространство X в нор-
мированное пространство Y , ограничена в каждой точке x, то есть
kA
n
xk
Y
≤ M
x
,
то нормы этих операторов ограничены в совокупности, то есть найдется
такая константа M, что для любого n ∈ N
kA
n
k ≤ M.
Из теоремы Банаха–Штейнгауза сразу следует критерий поточечной сходи-
мости.
Теорема 10.3. Для того чтобы последовательность линейных непрерыв-
ных операторов {A
n
}, отображающих банахово пространство X в банахово
пространство Y , поточечно сходилась к линейному непрерывному оператору
A, необходимо и достаточно, чтобы
1) последовательность {kA
n
k} была ограничена;
2) A
n
x → Ax для любого x из некоторого всюду плотного в X множества.
Теорема 10.3, которую в некоторой литературе называют теоремой Банаха–
Штейнгауза, имеет многочисленные применения. Это объясняется тем, что мно-
гие конкретные задачи (например, исследование сходимости рядов Фурье и ин-
терполяционных полиномов, исследования квадратурных формул, получение
приближенных решений интегральных и дифференциальных уравнений) мо-
гут быть описаны с помощью последовательности линейных операторов.
Покажем на примере теории интерполирования, как может использоваться
принцип равномерной ограниченности.

Страницы