ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
17
Пример 4. Монета подбрасывается два раза.
Элементарные исходы:
1
ООω=
,
2
ОРω=
,
3
Р
О
ω
=
,
4
Р
Р
ω
=
.
ПЭИ
{
}
1234
,,,
=
ωωωω .
Пусть А обозначает событие, состоящее в том, что выпал
ровно один орел, тогда
{
}
23
,A =ωω .
Определение. Если событие совпадает со всем ПЭИ, то оно
называется достоверным. Если событие не содержит ни одного
элементарного исхода, то оно называется невозможным.
В примере 4 достоверное событие может быть описано фра-
зой: «Решка выпала не более двух раз». И, наоборот, невозможное
событие: «Решка выпала более двух раз». Элементарные исходы,
входящие
в событие А, называются благоприятными для А, или,
другими словами, говорят, что исход
ω является благоприятным
для события А, если при появлении
ω событие А наступает.
Пример 5. Бросаем две игральные кости.
Событие А – сумма выпавших чисел делится на 4. В качест-
ве пространства элементарных исходов данного опыта естествен-
но взять множество пар чисел:
(1,1); (1, 2); (1, 3); (1, 4); (1, 5); (1, 6);
(2,1);(2,2);(2,3);(2, 4);(2,5);(2,6);
(3,1);(3, 2); (3,3); (3, 4);(3,5);(3, 6);
(4,1);(4, 2);(4,3);(4, 4);(4,5);(4,6);
(5,1); (5, 2); (5,3); (5,4);(5,5);(5, 6);
(6,1);(6,2);(6,3);(6, 4);(6,5);(6,6).
⎧⎫
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎨⎬
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎩⎭
Благоприятными для события А являются
{
}
(1,3);(2, 2);(2, 6); (3,1); (3,5);(4, 4); (5,3);(6, 2) .
Определение. Пусть А – событие. Событие, состоящее из
элементарных исходов, не входящих в А, называется противопо-
ложным к А и обозначается
A
.
18
2.1.2. Вероятность события
В предыдущем параграфе мы сделали первый шаг в по-
строении математической модели реального опыта, а именно вве-
ли понятие пространства элементарных исходов. ПЭИ должно
быть таким, чтобы любое событие, связанное с этим опытом, либо
было элементарным, либо как-то составлялось из элементарных
(было бы их набором).
Следующим шагом
в нашем построении является приписы-
вание каждому событию определенного числа – меры возможно-
сти его появления в данном опыте, называемого вероятностью со-
бытия.
Вероятность события – это безразмерная величина, характе-
ризующая степень близости события к достоверному.
Пусть
{
}
12
,,,
n
Ω
=ωω ω
L
– ПЭИ модели, описывающей
некоторый опыт. Вероятность события введем, постулируя сле-
дующие три правила.
1. Вероятность достоверного события равна 1. Вероят-
ность невозможного события равна 0.
2. Каждому элементарному исходу
i
ω
,
1, 2, , in
=
K
, при-
писано неотрицательное число
(
)
i
p
ω
так, что
(
)
(
)
(
)
12
1
n
pp p
ωω ω
+
++ =L
.
3. Вероятность события есть сумма вероятностей входя-
щих в него элементарных исходов.
Вероятность события А будем обозначать
(
)
pA
. Из приня-
тых постулатов сразу же получаем:
а) для любого события А верно неравенство
(
)
01pA
≤
≤
;
б) для взаимно противоположных событий
A и A имеет
место равенство
(
)
()
1
p
ApA=− .
Пример 4. Монета подбрасывается два раза. 2.1.2. Вероятность события
Элементарные исходы: ω1 = ОО , ω2 = ОР , ω3 = РО , ω4 = РР .
В предыдущем параграфе мы сделали первый шаг в по-
ПЭИ = {ω1 , ω2 , ω3 , ω4 } . строении математической модели реального опыта, а именно вве-
Пусть А обозначает событие, состоящее в том, что выпал ли понятие пространства элементарных исходов. ПЭИ должно
ровно один орел, тогда быть таким, чтобы любое событие, связанное с этим опытом, либо
было элементарным, либо как-то составлялось из элементарных
A = {ω2 , ω3 } . (было бы их набором).
Определение. Если событие совпадает со всем ПЭИ, то оно Следующим шагом в нашем построении является приписы-
называется достоверным. Если событие не содержит ни одного вание каждому событию определенного числа – меры возможно-
элементарного исхода, то оно называется невозможным. сти его появления в данном опыте, называемого вероятностью со-
В примере 4 достоверное событие может быть описано фра- бытия.
зой: «Решка выпала не более двух раз». И, наоборот, невозможное Вероятность события – это безразмерная величина, характе-
событие: «Решка выпала более двух раз». Элементарные исходы, ризующая степень близости события к достоверному.
входящие в событие А, называются благоприятными для А, или, Пусть Ω = {ω1 , ω2 ,L , ωn } – ПЭИ модели, описывающей
другими словами, говорят, что исход ω является благоприятным
некоторый опыт. Вероятность события введем, постулируя сле-
для события А, если при появлении ω событие А наступает.
дующие три правила.
Пример 5. Бросаем две игральные кости.
1. Вероятность достоверного события равна 1. Вероят-
Событие А – сумма выпавших чисел делится на 4. В качест-
ность невозможного события равна 0.
ве пространства элементарных исходов данного опыта естествен-
но взять множество пар чисел: 2. Каждому элементарному исходу ωi , i = 1, 2, K, n , при-
⎧(1,1);(1, 2);(1,3);(1, 4);(1,5);(1, 6); ⎫ писано неотрицательное число p (ω i ) так, что
⎪(2,1);(2, 2);(2,3);(2, 4);(2,5);(2, 6);⎪
⎪ ⎪ p (ω1 ) + p (ω 2 ) + L + p (ω n ) = 1 .
⎪(3,1);(3, 2);(3,3);(3, 4);(3,5);(3, 6); ⎪ 3. Вероятность события есть сумма вероятностей входя-
⎨ ⎬ щих в него элементарных исходов.
⎪(4,1);(4, 2);(4,3);(4, 4);(4,5);(4, 6);⎪
⎪(5,1);(5, 2);(5,3);(5, 4);(5,5);(5, 6); ⎪ Вероятность события А будем обозначать p ( A ) . Из приня-
⎪ ⎪ тых постулатов сразу же получаем:
⎩(6,1);(6, 2);(6,3);(6, 4);(6,5);(6, 6). ⎭ а) для любого события А верно неравенство
Благоприятными для события А являются 0 ≤ p ( A) ≤ 1 ;
{(1,3);(2, 2);(2, 6);(3,1);(3,5); (4, 4);(5,3);(6, 2)} .
б) для взаимно противоположных событий A и A имеет
Определение. Пусть А – событие. Событие, состоящее из место равенство
элементарных исходов, не входящих в А, называется противопо-
ложным к А и обозначается A . ( )
p A = 1 − p ( A) .
17 18
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- …
- следующая ›
- последняя »
