Математика и информатика. Исаченко Н.А. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОмГУ | Омск

Составители: 

Рубрика: 

15
B
– Том способный;
C – Отец помогает ему.
Тогда
()
(
)
1
F
BC A
=
¬∧ ⇒¬
()
2
FAC=⇒.
Таким образом, наша задача, показать, что формула
(
)
(
)
()
B
CAAC¬∧⇒¬⇒ ⇒
общезначима.
Для составления таблицы истинности последней формулы
воспользуемся возможностями табличного процессора Excel. Учи-
тывая специфику набора логических функций в Excel, преобразу-
ем нашу формулу, исключив из нее все стрелки следствий. С этой
целью воспользуемся предыдущим примером. Итак, наша форму-
ла примет вид:
()
(
)
()
()
()
B
CAAC¬¬¬ ∧ ∨¬ ∨¬ ∨ .
Учитывая очевидную эквивалентность
(
)
A
¬
¬ ~ А, получим
(
)( )
(
)
()
B
CA AC¬ ∧ ∨¬ ∨¬ ∨ .
Таблица 4
ABC
ИСТИНА ИСТИНА ИСТИНА ИСТИНА
ИСТИНА ИСТИНА Л ОЖЬ ИСТИНА
ИСТИНА Л ОЖЬ ИСТИНА ИСТИНА
Л ОЖЬ ИСТИНА ИСТИНА ИСТИНА
ИСТИНА ЛОЖЬ ЛОЖЬ ИСТИНА
ЛОЖЬ ИСТИНА ЛОЖЬ ИСТИНА
ЛОЖЬ ЛОЖЬ ИСТИНА ИСТИНА
ЛОЖЬ ЛОЖЬ ЛОЖЬ ИСТИНА
(
)
)
(
)
)
BC A AC¬ ∧ ∨¬ ∨¬ ∨
Из полученной таблицы (табл. 4) видно, что формула истин-
на в любой интерпретации, следовательно,
2
F
является логиче-
ским следствием
1
F .
16
2. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
2.1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
2.1.1. Пространство элементарных исходов
В предыдущей главе мы уже говорили о том, что математи-
ческая теория (как, впрочем, и любая другая) строится по схеме:
– неопределяемые понятия,
– правила действия с этими понятиями (аксиомы),
– утверждения (теоремы).
Материалом для установления начальных понятий теории
вероятностей являются случайные исходы – результаты некоторо-
го опыта, испытания.
Выполняется ли испытание фактически или
же мы лишь воображаем его повторяющееся любое число раз при
неизменных условиях – безразлично для построения теории.
Теория вероятностей создает и анализирует теоретическую
модель опыта. Такая модель не обязана учитывать все физически
возможные результаты рассматриваемого испытания, а только за-
ранее обусловленные – существенные для теории и ее приложе
-
ний. Например, когда мы говорим, что опыт состоит в подбрасы-
вании монеты, то единственными возможными исходами считаем
появление орла или решки, хотя может оказаться и так, что монета
встанет на ребро или же закатится под стол.
Все обусловленные, взаимоисключающие результаты опыта
будем называть элементарными исходами, а множество всех эле-
ментарных
исходов – пространством элементарных исходов (ПЭИ).
Пример 1. Опыт – один раз подбрасывается монета. В этом
случае ПЭИ состоит из двух исходов – Орел, Решка.
Пример 2. Бросаем игральную кость. ПЭИ = {1,2,3,4,5,6}.
Пример 3. Монета подбрасывается трижды.
ПЭИ = {OOO, OOP, OPO, POO, OPP, POP, PPO, PPP}.
Определение. Событием называется произвольное подмно-
жество ПЭИ.
В дальнейшем пространство элементарных исходов будем
обозначать буквой
Ω
, события большими латинскими буквами, а
элементарные исходы –
ω
. 
      B – Том способный;                                                                      2. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
      C – Отец помогает ему.
     Тогда                                                                                    2.1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
                         F1 = ( ¬ ( B ∧ C ) ⇒ ¬A )
                                                                                   2.1.1. Пространство элементарных исходов
                              F2 = ( A ⇒ C ) .                                      В предыдущей главе мы уже говорили о том, что математи-
     Таким образом, наша задача, показать, что формула                        ческая теория (как, впрочем, и любая другая) строится по схеме:
                    ( ¬ ( B ∧ C ) ⇒ ¬A ) ⇒ ( A ⇒ C )                                – неопределяемые понятия,
                                                                                    – правила действия с этими понятиями (аксиомы),
общезначима.
                                                                                    – утверждения (теоремы).
      Для составления таблицы истинности последней формулы
                                                                                    Материалом для установления начальных понятий теории
воспользуемся возможностями табличного процессора Excel. Учи-
                                                                              вероятностей являются случайные исходы – результаты некоторо-
тывая специфику набора логических функций в Excel, преобразу-
                                                                              го опыта, испытания. Выполняется ли испытание фактически или
ем нашу формулу, исключив из нее все стрелки следствий. С этой
                                                                              же мы лишь воображаем его повторяющееся любое число раз при
целью воспользуемся предыдущим примером. Итак, наша форму-
                                                                              неизменных условиях – безразлично для построения теории.
ла примет вид:
                                                                                    Теория вероятностей создает и анализирует теоретическую
                (                             )
              ¬ ¬ ( ¬ ( B ∧ C ) ) ∨ ( ¬A ) ∨ ( ¬A ∨ C ) .                     модель опыта. Такая модель не обязана учитывать все физически
                                                                              возможные результаты рассматриваемого испытания, а только за-
     Учитывая очевидную эквивалентность ¬ ( ¬A ) ~ А, получим                 ранее обусловленные – существенные для теории и ее приложе-
                    ¬ ( ( B ∧ C ) ∨ ( ¬A ) ) ∨ ( ¬A ∨ C ) .                   ний. Например, когда мы говорим, что опыт состоит в подбрасы-
                                                                              вании монеты, то единственными возможными исходами считаем
                                                                  Таблица 4   появление орла или решки, хотя может оказаться и так, что монета
                                                                              встанет на ребро или же закатится под стол.
                                     ¬ ( ( B ∧ C ) ∨ ( ¬A) ) ∨ ( ¬A ∨ C )           Все обусловленные, взаимоисключающие результаты опыта
    A        B            C
                                                                              будем называть элементарными исходами, а множество всех эле-
 ИСТИНА   ИСТИНА       ИСТИНА                       ИСТИНА
                                                                              ментарных исходов – пространством элементарных исходов (ПЭИ).
 ИСТИНА   ИСТИНА        ЛОЖЬ                        ИСТИНА
                                                                                    Пример 1. Опыт – один раз подбрасывается монета. В этом
 ИСТИНА    ЛОЖЬ        ИСТИНА                       ИСТИНА
  ЛОЖЬ    ИСТИНА       ИСТИНА                       ИСТИНА
                                                                              случае ПЭИ состоит из двух исходов – Орел, Решка.
 ИСТИНА    ЛОЖЬ         ЛОЖЬ                        ИСТИНА
                                                                                    Пример 2. Бросаем игральную кость. ПЭИ = {1,2,3,4,5,6}.
  ЛОЖЬ    ИСТИНА        ЛОЖЬ                        ИСТИНА                          Пример 3. Монета подбрасывается трижды.
  ЛОЖЬ     ЛОЖЬ        ИСТИНА                       ИСТИНА                         ПЭИ = {OOO, OOP, OPO, POO, OPP, POP, PPO, PPP}.
  ЛОЖЬ     ЛОЖЬ         ЛОЖЬ                        ИСТИНА                          Определение. Событием называется произвольное подмно-
                                                                              жество ПЭИ.
     Из полученной таблицы (табл. 4) видно, что формула истин-                      В дальнейшем пространство элементарных исходов будем
на в любой интерпретации, следовательно, F2 является логиче-                  обозначать буквой Ω , события большими латинскими буквами, а
ским следствием F1 .                                                          элементарные исходы – ω .

                                      15                                                                    16

Страницы