Математика и информатика. Исаченко Н.А. - 6 стр.

начает, что есть хотя бы один человек на Крите, который не лжет.           Определение. Высказыванием называется произвольное ут-
Последнее не является логически невозможным, тем самым мы           вердительное предложение, которое либо истинно, либо ложно, но
видим, что здесь нет настоящего парадокса.                          не то и другое вместе. «ИСТИНА» или «ЛОЖЬ», приписанная
      2. В русском языке лишь конечное множество слов. Следо-       конкретному высказыванию, называется его истинностным зна-
вательно, лишь конечное множество фраз русского языка состоят       чением.
менее чем из ста слов. А потому существует лишь конечное мно-              Примеры высказываний: «Снег белый» (но не «Белый снег»),
жество натуральных чисел (1, 2, 3, 4, …), которые можно описать     «Идет дождь», «Иванов – доктор наук». Подобные простейшие
фразами, содержащими менее ста слов. Пусть N есть наименьшее        высказывания называют атомарными формулами или атомами и
из тех натуральных чисел, которые невозможно описать фразой,        обозначают прописными латинскими буквами.
содержащей менее ста слов. Набранная курсивом фраза полно-                 Для построения составных высказываний используются ло-
стью описывает число N и при этом содержит менее ста слов, что      гические связки. Примерами составных высказываний могут слу-
противоречит самому определению этого числа.                        жить: «Идет снег и светит солнце», «Тает снег, следовательно, бе-
      3. Прилагательное назовем автологическим, если оно обла-      гут ручьи», «Если сыро и жарко, то душно». Мы будем использо-
дает тем свойством, которое оно обозначает, в противном случае      вать пять логических связок: ¬ (не), ∧ (и), ∨ (или), ⇒ (следует,
прилагательное будем называть гетерологическим. Например, при-      если … то), ⇔ (тогда и только тогда). Эти связки можно ис-
лагательные «многосложный», «русский» являются автологиче-          пользовать при построении все более сложных высказываний. К
скими (первое само состоит из многих слогов, второе само являет-    примеру, если A – «Лечение от рака найдено», B – «Определены
ся русским), и, наоборот, прилагательные «односложный», «фран-      причины рака», C – «Найдены новые лекарства», то утверждение:
цузский», «голубой» – гетерологическими. Рассмотрим прилага-        «Лечение от рака не будет найдено, пока не определены его при-
тельное «гетерологический». Если оно гетерологическое, то есть      чины и не найдены новые лекарства» – запишется формулой:
не обладает свойством гетерологичности, то оно негетерологиче-      (¬( B ∧ C )) ⇒ (¬A) .
ское. Но если оно негетерологическое, то оно гетерологическое. В           Определение. Формулы определяются следующим образом:
любом случае это прилагательное является одновременно гетеро-              1. Атом есть формула.
логическим и негетерологическим.                                           2. Если A – формула, то ¬A – формула.
      4. Парадокс брадобрея. Командир полка назначает одного
                                                                           3. Если A и B – формулы, то ( A ∧ B ) , ( A ∨ B ) , ( A ⇒ B ) ,
из солдат брадобреем, приказывая при этом брить тех и только тех
солдат, которые не бреются сами. Что же делать брадобрею с са-      ( A ⇔ B) – формулы.
мим собою? Если он будет брить себя, то он бреет того, кто бреет-          4. Никаких формул, кроме порожденных применением ука-
ся сам. Но если он не будет брить себя, то он должен себя по-       занных выше правил, не существует.
брить. В обоих случаях он должен брить и не брить себя одновре-            Из определения следует, что такие выражения, как ( A ⇒) ,
менно.                                                              ( B ∧) и им подобные, не являются формулами.
      Основная цель математической логики – обеспечить симво-
                                                                           Пусть A и B – формулы. В таблице 1 перечислены соот-
лизм (систему формальных обозначений) для рассуждений, встре-
                                                                    ношения между истинностными значениями формул ¬A ,
чающихся не только в математике, но и в повседневной жизни. В
этом пособии мы познакомимся с простейшей математической            ( A ∧ B) , ( A ∨ B) , ( A ⇒ B) , ( A ⇔ B) и формул A и B .
логикой – логикой высказываний или, как часто говорят, исчисле-
нием высказываний.

                               11                                                                    12