ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
7
МАТЕМАТИКА
1. ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
1.1. Элементы теории множеств
В основе всей современной математики лежит понятие
множества. Множеством называют произвольный набор различи-
мых между собой элементов (множество столов в этой аудитории,
множество студентов, учащихся на таком-то курсе такого-то уни-
верситета). Сформулируем основные аксиомы так называемой на-
ивной теории множеств.
1. Всякое множество полностью определяется набором
входящих в него элементов, то есть два множества считаются
равными, если они состоят из одних и тех же элементов.
2. Если
A – некоторое множество, и
P
– некоторое свой-
ство, то из
A
можно выделить множество тех элементов, ко-
торые обладают свойством
P
.
В наивной теории множеств существуют парадоксы (утвер-
ждения, про которые нельзя сказать, истинны они или нет). По-
видимому, первым, кто это заметил, был Бертран Рассел – один из
сильнейших математиков XIX–XX веков. Множества сами быва-
ют элементами других множеств. К примеру, взвод – это множе-
ство, состоящее из определенного числа солдат, рота – это
множе-
ство, состоящее из нескольких взводов. Таким образом: рота – это
множество, элементами которого являются множества (взводы).
Большинство множеств не являются элементами самих себя. На-
пример, множество котов не является своим элементом, поскольку
оно не кот. В то же время существуют множества, которые при-
надлежат сами себе, в частности таковым является множество
всех множеств. Рассмотрим множество всех множеств, не являю-
щихся своими элементами, обозначим его
X
. Попробуем ответить
на вопрос: «Является ли
X
элементом самого себя?». Допустим,
что ответ: «ДА». Но ведь в множество
X
входят лишь те множе-
ства, которые не являются своими элементами. Противоречие.
Следовательно, ответ: «НЕТ». Но в этом случае
X
должно являть-
ся элементом самого себя. Опять противоречие!
8
Обычно множества мы будем обозначать прописными ла-
тинскими буквами (A, B, C,
…
), а их элементы – строчными (a, b, c,
…, x, y, z) . Математики постоянно пользуются специальными сим-
волами, сокращающими, а зачастую и упрощающими записи раз-
личных утверждений. Ниже мы приводим некоторые из таких
символов.
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется
пустым и обозначается
∅
. Запись
x
A
∈
используется для обо-
значения того, что
x
является элементом A , или что
x
принад-
лежит
A . Выражение AB⊂ читается: множество A является
подмножеством множества B, это означает, что всякий элемент
множества A является также и элементом множества B. Например,
если A – это множество китов, а B – множество млекопитающих,
то
AB⊂ , в самом деле: всякий кит – млекопитающее. Символы
∀ и
∃
читаются, соответственно, как для любого (для всякого) и
существует (найдется). Стрелка
⇒ заменяет слово «следует»
или, что то же самое, «если … то …». Двойная стрелка
⇔ обо-
значает фразу «тогда и только тогда».
В качестве примера запишем сформулированные ранее ут-
верждения с помощью введенных нами символов:
1.
(( )AB xA xB
=
⇔∈⇒∈ и ())
x
BxA
∈
⇒∈ .
2.
A
∀
и P
∀
B
A
∃
⊂ такое, что ()
x
BPx
∈
⇔ .
1.2. Операции с множествами
Пусть A и B – множества.
Объединением множеств A и B называют множество элемен-
тов, входящих хотя бы в одно из них, и обозначают
AB∪ . Таким
образом:
{|AB xxA∪= ∈ или }
x
B
∈
.
Выражение
{| }
x
P читается: «множество тех x, которые
удовлетворяют условию P».
Пересечением множеств A и B называют множество элемен-
тов, входящих сразу и в A, и в B. Итак:
{|AB xxA
∩
=∈ и }
x
B
∈
.
МАТЕМАТИКА Обычно множества мы будем обозначать прописными ла- тинскими буквами (A, B, C,…), а их элементы – строчными (a, b, c, 1. ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ …, x, y, z) . Математики постоянно пользуются специальными сим- волами, сокращающими, а зачастую и упрощающими записи раз- 1.1. Элементы теории множеств личных утверждений. Ниже мы приводим некоторые из таких В основе всей современной математики лежит понятие символов. множества. Множеством называют произвольный набор различи- Множество, не содержащее ни одного элемента, называется мых между собой элементов (множество столов в этой аудитории, пустым и обозначается ∅ . Запись x ∈ A используется для обо- множество студентов, учащихся на таком-то курсе такого-то уни- значения того, что x является элементом A , или что x принад- верситета). Сформулируем основные аксиомы так называемой на- лежит A . Выражение A ⊂ B читается: множество A является ивной теории множеств. подмножеством множества B, это означает, что всякий элемент 1. Всякое множество полностью определяется набором множества A является также и элементом множества B. Например, входящих в него элементов, то есть два множества считаются если A – это множество китов, а B – множество млекопитающих, равными, если они состоят из одних и тех же элементов. то A ⊂ B , в самом деле: всякий кит – млекопитающее. Символы 2. Если A – некоторое множество, и P – некоторое свой- ∀ и ∃ читаются, соответственно, как для любого (для всякого) и ство, то из A можно выделить множество тех элементов, ко- существует (найдется). Стрелка ⇒ заменяет слово «следует» торые обладают свойством P . или, что то же самое, «если … то …». Двойная стрелка ⇔ обо- В наивной теории множеств существуют парадоксы (утвер- значает фразу «тогда и только тогда». ждения, про которые нельзя сказать, истинны они или нет). По- В качестве примера запишем сформулированные ранее ут- видимому, первым, кто это заметил, был Бертран Рассел – один из верждения с помощью введенных нами символов: сильнейших математиков XIX–XX веков. Множества сами быва- 1. A = B ⇔ (( x ∈ A ⇒ x ∈ B) и ( x ∈ B ⇒ x ∈ A)) . ют элементами других множеств. К примеру, взвод – это множе- 2. ∀A и ∀P ∃B ⊂ A такое, что x ∈ B ⇔ P ( x) . ство, состоящее из определенного числа солдат, рота – это множе- ство, состоящее из нескольких взводов. Таким образом: рота – это множество, элементами которого являются множества (взводы). 1.2. Операции с множествами Большинство множеств не являются элементами самих себя. На- Пусть A и B – множества. пример, множество котов не является своим элементом, поскольку Объединением множеств A и B называют множество элемен- оно не кот. В то же время существуют множества, которые при- тов, входящих хотя бы в одно из них, и обозначают A ∪ B . Таким надлежат сами себе, в частности таковым является множество образом: всех множеств. Рассмотрим множество всех множеств, не являю- A ∪ B = {x | x ∈ A или x ∈ B} . щихся своими элементами, обозначим его X . Попробуем ответить Выражение {x | P} читается: «множество тех x, которые на вопрос: «Является ли X элементом самого себя?». Допустим, удовлетворяют условию P». что ответ: «ДА». Но ведь в множество X входят лишь те множе- Пересечением множеств A и B называют множество элемен- ства, которые не являются своими элементами. Противоречие. тов, входящих сразу и в A, и в B. Итак: Следовательно, ответ: «НЕТ». Но в этом случае X должно являть- ся элементом самого себя. Опять противоречие! A ∩ B = {x | x ∈ A и x ∈ B} . 7 8
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- …
- следующая ›
- последняя »