Математика и информатика. Исаченко Н.А. - 4 стр.

                       МАТЕМАТИКА                                         Обычно множества мы будем обозначать прописными ла-
                                                                   тинскими буквами (A, B, C,…), а их элементы – строчными (a, b, c,
              1. ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ                              …, x, y, z) . Математики постоянно пользуются специальными сим-
                                                                   волами, сокращающими, а зачастую и упрощающими записи раз-
     1.1. Элементы теории множеств                                 личных утверждений. Ниже мы приводим некоторые из таких
      В основе всей современной математики лежит понятие           символов.
множества. Множеством называют произвольный набор различи-                Множество, не содержащее ни одного элемента, называется
мых между собой элементов (множество столов в этой аудитории,      пустым и обозначается ∅ . Запись x ∈ A используется для обо-
множество студентов, учащихся на таком-то курсе такого-то уни-     значения того, что x является элементом A , или что x принад-
верситета). Сформулируем основные аксиомы так называемой на-       лежит A . Выражение A ⊂ B читается: множество A является
ивной теории множеств.                                             подмножеством множества B, это означает, что всякий элемент
      1. Всякое множество полностью определяется набором           множества A является также и элементом множества B. Например,
входящих в него элементов, то есть два множества считаются         если A – это множество китов, а B – множество млекопитающих,
равными, если они состоят из одних и тех же элементов.             то A ⊂ B , в самом деле: всякий кит – млекопитающее. Символы
      2. Если A – некоторое множество, и P – некоторое свой-       ∀ и ∃ читаются, соответственно, как для любого (для всякого) и
ство, то из A можно выделить множество тех элементов, ко-          существует (найдется). Стрелка ⇒ заменяет слово «следует»
торые обладают свойством P .                                       или, что то же самое, «если … то …». Двойная стрелка ⇔ обо-
      В наивной теории множеств существуют парадоксы (утвер-       значает фразу «тогда и только тогда».
ждения, про которые нельзя сказать, истинны они или нет). По-             В качестве примера запишем сформулированные ранее ут-
видимому, первым, кто это заметил, был Бертран Рассел – один из    верждения с помощью введенных нами символов:
сильнейших математиков XIX–XX веков. Множества сами быва-                 1. A = B ⇔ (( x ∈ A ⇒ x ∈ B) и ( x ∈ B ⇒ x ∈ A)) .
ют элементами других множеств. К примеру, взвод – это множе-
                                                                          2. ∀A и ∀P ∃B ⊂ A такое, что x ∈ B ⇔ P ( x) .
ство, состоящее из определенного числа солдат, рота – это множе-
ство, состоящее из нескольких взводов. Таким образом: рота – это
множество, элементами которого являются множества (взводы).             1.2. Операции с множествами
Большинство множеств не являются элементами самих себя. На-              Пусть A и B – множества.
пример, множество котов не является своим элементом, поскольку           Объединением множеств A и B называют множество элемен-
оно не кот. В то же время существуют множества, которые при-       тов, входящих хотя бы в одно из них, и обозначают A ∪ B . Таким
надлежат сами себе, в частности таковым является множество         образом:
всех множеств. Рассмотрим множество всех множеств, не являю-                         A ∪ B = {x | x ∈ A или x ∈ B} .
щихся своими элементами, обозначим его X . Попробуем ответить
                                                                         Выражение {x | P} читается: «множество тех x, которые
на вопрос: «Является ли X элементом самого себя?». Допустим,
                                                                   удовлетворяют условию P».
что ответ: «ДА». Но ведь в множество X входят лишь те множе-
                                                                         Пересечением множеств A и B называют множество элемен-
ства, которые не являются своими элементами. Противоречие.
                                                                   тов, входящих сразу и в A, и в B. Итак:
Следовательно, ответ: «НЕТ». Но в этом случае X должно являть-
ся элементом самого себя. Опять противоречие!
                                                                                      A ∩ B = {x | x ∈ A и x ∈ B} .


                               7                                                                  8