Математика и информатика. Исаченко Н.А. - 4 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

7
МАТЕМАТИКА
1. ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
1.1. Элементы теории множеств
В основе всей современной математики лежит понятие
множества. Множеством называют произвольный набор различи-
мых между собой элементов (множество столов в этой аудитории,
множество студентов, учащихся на таком-то курсе такого-то уни-
верситета). Сформулируем основные аксиомы так называемой на-
ивной теории множеств.
1. Всякое множество полностью определяется набором
входящих в него элементов, то есть два множества считаются
равными, если они состоят из одних и тех же элементов.
2. Если
A некоторое множество, и
P
некоторое свой-
ство, то из
A
можно выделить множество тех элементов, ко-
торые обладают свойством
P
.
В наивной теории множеств существуют парадоксы (утвер-
ждения, про которые нельзя сказать, истинны они или нет). По-
видимому, первым, кто это заметил, был Бертран Расселодин из
сильнейших математиков XIX–XX веков. Множества сами быва-
ют элементами других множеств. К примеру, взводэто множе-
ство, состоящее из определенного числа солдат, ротаэто
множе-
ство, состоящее из нескольких взводов. Таким образом: ротаэто
множество, элементами которого являются множества (взводы).
Большинство множеств не являются элементами самих себя. На-
пример, множество котов не является своим элементом, поскольку
оно не кот. В то же время существуют множества, которые при-
надлежат сами себе, в частности таковым является множество
всех множеств. Рассмотрим множество всех множеств, не являю-
щихся своими элементами, обозначим его
X
. Попробуем ответить
на вопрос: «Является ли
X
элементом самого себя?». Допустим,
что ответ: «ДА». Но ведь в множество
X
входят лишь те множе-
ства, которые не являются своими элементами. Противоречие.
Следовательно, ответ: «НЕТ». Но в этом случае
X
должно являть-
ся элементом самого себя. Опять противоречие!
8
Обычно множества мы будем обозначать прописными ла-
тинскими буквами (A, B, C,
), а их элементыстрочными (a, b, c,
…, x, y, z) . Математики постоянно пользуются специальными сим-
волами, сокращающими, а зачастую и упрощающими записи раз-
личных утверждений. Ниже мы приводим некоторые из таких
символов.
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется
пустым и обозначается
. Запись
x
A
используется для обо-
значения того, что
x
является элементом A , или что
x
принад-
лежит
A . Выражение AB читается: множество A является
подмножеством множества B, это означает, что всякий элемент
множества A является также и элементом множества B. Например,
если Aэто множество китов, а Bмножество млекопитающих,
то
AB , в самом деле: всякий китмлекопитающее. Символы
и
читаются, соответственно, как для любого (для всякого) и
существует (найдется). Стрелка
заменяет слово «следует»
или, что то же самое, «еслито …». Двойная стрелка
обо-
значает фразу «тогда и только тогда».
В качестве примера запишем сформулированные ранее ут-
верждения с помощью введенных нами символов:
1.
(( )AB xA xB
⇔∈ и ())
x
BxA
⇒∈ .
2.
A
и P
B
A
такое, что ()
x
BPx
.
1.2. Операции с множествами
Пусть A и B – множества.
Объединением множеств A и B называют множество элемен-
тов, входящих хотя бы в одно из них, и обозначают
AB . Таким
образом:
{|AB xxA∪= или }
x
B
.
Выражение
{| }
x
P читается: «множество тех x, которые
удовлетворяют условию P».
Пересечением множеств A и B называют множество элемен-
тов, входящих сразу и в A, и в B. Итак:
{|AB xxA
=∈ и }
x
B
.
                       МАТЕМАТИКА                                         Обычно множества мы будем обозначать прописными ла-
                                                                   тинскими буквами (A, B, C,…), а их элементы – строчными (a, b, c,
              1. ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ                              …, x, y, z) . Математики постоянно пользуются специальными сим-
                                                                   волами, сокращающими, а зачастую и упрощающими записи раз-
     1.1. Элементы теории множеств                                 личных утверждений. Ниже мы приводим некоторые из таких
      В основе всей современной математики лежит понятие           символов.
множества. Множеством называют произвольный набор различи-                Множество, не содержащее ни одного элемента, называется
мых между собой элементов (множество столов в этой аудитории,      пустым и обозначается ∅ . Запись x ∈ A используется для обо-
множество студентов, учащихся на таком-то курсе такого-то уни-     значения того, что x является элементом A , или что x принад-
верситета). Сформулируем основные аксиомы так называемой на-       лежит A . Выражение A ⊂ B читается: множество A является
ивной теории множеств.                                             подмножеством множества B, это означает, что всякий элемент
      1. Всякое множество полностью определяется набором           множества A является также и элементом множества B. Например,
входящих в него элементов, то есть два множества считаются         если A – это множество китов, а B – множество млекопитающих,
равными, если они состоят из одних и тех же элементов.             то A ⊂ B , в самом деле: всякий кит – млекопитающее. Символы
      2. Если A – некоторое множество, и P – некоторое свой-       ∀ и ∃ читаются, соответственно, как для любого (для всякого) и
ство, то из A можно выделить множество тех элементов, ко-          существует (найдется). Стрелка ⇒ заменяет слово «следует»
торые обладают свойством P .                                       или, что то же самое, «если … то …». Двойная стрелка ⇔ обо-
      В наивной теории множеств существуют парадоксы (утвер-       значает фразу «тогда и только тогда».
ждения, про которые нельзя сказать, истинны они или нет). По-             В качестве примера запишем сформулированные ранее ут-
видимому, первым, кто это заметил, был Бертран Рассел – один из    верждения с помощью введенных нами символов:
сильнейших математиков XIX–XX веков. Множества сами быва-                 1. A = B ⇔ (( x ∈ A ⇒ x ∈ B) и ( x ∈ B ⇒ x ∈ A)) .
ют элементами других множеств. К примеру, взвод – это множе-
                                                                          2. ∀A и ∀P ∃B ⊂ A такое, что x ∈ B ⇔ P ( x) .
ство, состоящее из определенного числа солдат, рота – это множе-
ство, состоящее из нескольких взводов. Таким образом: рота – это
множество, элементами которого являются множества (взводы).             1.2. Операции с множествами
Большинство множеств не являются элементами самих себя. На-              Пусть A и B – множества.
пример, множество котов не является своим элементом, поскольку           Объединением множеств A и B называют множество элемен-
оно не кот. В то же время существуют множества, которые при-       тов, входящих хотя бы в одно из них, и обозначают A ∪ B . Таким
надлежат сами себе, в частности таковым является множество         образом:
всех множеств. Рассмотрим множество всех множеств, не являю-                         A ∪ B = {x | x ∈ A или x ∈ B} .
щихся своими элементами, обозначим его X . Попробуем ответить
                                                                         Выражение {x | P} читается: «множество тех x, которые
на вопрос: «Является ли X элементом самого себя?». Допустим,
                                                                   удовлетворяют условию P».
что ответ: «ДА». Но ведь в множество X входят лишь те множе-
                                                                         Пересечением множеств A и B называют множество элемен-
ства, которые не являются своими элементами. Противоречие.
                                                                   тов, входящих сразу и в A, и в B. Итак:
Следовательно, ответ: «НЕТ». Но в этом случае X должно являть-
ся элементом самого себя. Опять противоречие!
                                                                                      A ∩ B = {x | x ∈ A и x ∈ B} .


                               7                                                                  8