Математика и информатика. Исаченко Н.А. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОмГУ | Омск

Составители: 

Рубрика: 

9
Разностью множеств A и B называется множество элемен-
тов, входящих в A и не входящих в B. Обозначение –
\
A
B . Та-
ким образом:
\{|
A
BxxA
=
∈ и }
x
B∉ .
Если
B
A⊂
, то разность \
A
B называют дополнением
A
до
B
.
Множество элементов, не входящих в множество
A
, обо-
значают
A . Таким образом:
{| }AxxA=∉.
Пример 1. Рассмотрим множество всех студентов. Пусть
A
– множество студентов, учащихся на юридических факультетах.
B
– множество студентов, изучающих английский язык. Тогда:
1)
AB∪ – это множество студентов, которые либо учатся
на юридическом факультете, либо изучают английский язык (воз-
можно то и другое вместе);
2)
A
B∩
– множество студентов-юристов, изучающих анг-
лийский язык;
3)
\
B
– множество студентов-юристов, которые не изу-
чают английский;
4)
A – множество всех студентов-неюристов.
Часто операции с множествами изображают в виде диаграмм.
Объединение Пересечение Разность
Дополнение Симметрическая разность
Упражнение. Сформулируйте определение симметрической
разности, исходя из ее диаграммы.
10
1.3. Элементы математической логики
Согласно одному из самых распространенных определений,
логика есть анализ методов рассуждений. Изучая эти методы, ло-
гик интересуется в первую очередь формой, а не содержанием до-
водов в том или ином рассуждении. Рассмотрим, например, два
следующих вывода:
1. Все люди смертны. Сократ – человек. Следовательно, Со-
крат смертен.
2. Все
кролики любят морковь. Чип – кролик. Следователь-
но, Чип любит морковь.
Оба эти вывода имеют одну и ту же форму: Все
A суть
B
;
C
есть A ; следовательно,
C
есть
B
. Истинность или ложность
отдельных посылок или заключений не интересует логика. Он же-
лает лишь знать, вытекает ли истинность заключения из истинно-
сти посылок.
Хотя логика и является основой всех остальных наук, тем не
менее присущее ей, наряду с фундаментальностью, свойство са-
моочевидности действовало расхолаживающе на стремление к
сколько-нибудь глубоким
логическим исследованиям вплоть до
девятнадцатого столетия, когда интерес к логике оживился под
влиянием открытия неевклидовых геометрий (геометрии Лобачев-
ского), а также необходимости строгого обоснования математиче-
ского анализа. Но особый всплеск внимания к логике был на ис-
ходе девятнадцатого века, когда мир был поражен открытием па-
радоксов, то есть рассуждений, приводящих к
противоречиям.
Один из таких парадоксов мы рассмотрели в предыдущем пара-
графе. Приведем еще несколько. Эти парадоксы обычно называют
семантическими.
1. Парадокс лжеца. Некто утверждает: «Я лгу». Если утвер-
ждение истинно, то это в точности означает, что он лжет, т. е. ут-
верждение ложно. Но если утверждение ложно, то это означает,
что он говорит правду, то есть его утверждение истинно. В любом
случае оно истинно и ложно одновременно.
С парадоксом лжеца имеет сходство так называемый пара-
докс критянина. Критский философ Эпименид сказал: «Все критя-
не – лжецы». Если это утверждение истинно, то, следовательно,
поскольку сам он тоже критянин, сказанное им есть ложь. Это
оз-
      Разностью множеств A и B называется множество элемен-           1.3. Элементы математической логики
тов, входящих в A и не входящих в B. Обозначение – A \ B . Та-         Согласно одному из самых распространенных определений,
ким образом:                                                     логика есть анализ методов рассуждений. Изучая эти методы, ло-
                   A \ B = {x | x ∈ A и x ∉ B} .                 гик интересуется в первую очередь формой, а не содержанием до-
      Если B ⊂ A , то разность A \ B называют дополнением A      водов в том или ином рассуждении. Рассмотрим, например, два
до B .                                                           следующих вывода:
      Множество элементов, не входящих в множество A , обо-            1. Все люди смертны. Сократ – человек. Следовательно, Со-
значают A . Таким образом:                                       крат смертен.
                                                                       2. Все кролики любят морковь. Чип – кролик. Следователь-
                         A = {x | x ∉ A} .                       но, Чип любит морковь.
      Пример 1. Рассмотрим множество всех студентов. Пусть A           Оба эти вывода имеют одну и ту же форму: Все A суть B ;
– множество студентов, учащихся на юридических факультетах.      C есть A ; следовательно, C есть B . Истинность или ложность
B – множество студентов, изучающих английский язык. Тогда:       отдельных посылок или заключений не интересует логика. Он же-
      1) A ∪ B – это множество студентов, которые либо учатся    лает лишь знать, вытекает ли истинность заключения из истинно-
на юридическом факультете, либо изучают английский язык (воз-    сти посылок.
можно то и другое вместе);                                             Хотя логика и является основой всех остальных наук, тем не
      2) A ∩ B – множество студентов-юристов, изучающих анг-     менее присущее ей, наряду с фундаментальностью, свойство са-
лийский язык;                                                    моочевидности действовало расхолаживающе на стремление к
      3) A \ B – множество студентов-юристов, которые не изу-    сколько-нибудь глубоким логическим исследованиям вплоть до
чают английский;                                                 девятнадцатого столетия, когда интерес к логике оживился под
      4) A – множество всех студентов-неюристов.                 влиянием открытия неевклидовых геометрий (геометрии Лобачев-
      Часто операции с множествами изображают в виде диаграмм.   ского), а также необходимости строгого обоснования математиче-
                                                                 ского анализа. Но особый всплеск внимания к логике был на ис-
                                                                 ходе девятнадцатого века, когда мир был поражен открытием па-
                                                                 радоксов, то есть рассуждений, приводящих к противоречиям.
                                                                 Один из таких парадоксов мы рассмотрели в предыдущем пара-
                                                                 графе. Приведем еще несколько. Эти парадоксы обычно называют
   Объединение           Пересечение             Разность        семантическими.
                                                                       1. Парадокс лжеца. Некто утверждает: «Я лгу». Если утвер-
                                                                 ждение истинно, то это в точности означает, что он лжет, т. е. ут-
                                                                 верждение ложно. Но если утверждение ложно, то это означает,
                                                                 что он говорит правду, то есть его утверждение истинно. В любом
                                                                 случае оно истинно и ложно одновременно.
           Дополнение             Симметрическая разность
                                                                       С парадоксом лжеца имеет сходство так называемый пара-
                                                                 докс критянина. Критский философ Эпименид сказал: «Все критя-
     Упражнение. Сформулируйте определение симметрической
                                                                 не – лжецы». Если это утверждение истинно, то, следовательно,
разности, исходя из ее диаграммы.
                                                                 поскольку сам он тоже критянин, сказанное им есть ложь. Это оз-
                              9                                                                 10

Страницы