Курс лекций по теоретическим основам электротехники. Исаев Ю.Н - 130 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

130
§4.5 Операторный метод расчёта переходных процессов
Операторный метод (преобразование Лапласа) расчета переходных
процессов используется для того, чтобы обыкновенные дифференци-
альные уравнения с постоянными коэффициентами (в пространстве
оригиналов) преобразовать в алгебраические (в пространстве изображе-
ний). Очевидно, что алгебраические уравнения решаются проще. После
решения алгебраического уравнения над полученной функцией (изо-
бражением) производится обратное преобразование Лапласа, получает-
ся оригинал. Полученный
оригинал – это функция, которая и будет ре-
шением дифференциального уравнения.
Любой функции можно сопоставить её преобразование Лапласа
0
() ()
pt
Fp fte dt
∞
−
=
∫
, (7)
здесь
()Fp
– изображение,
()
f
t
– оригинал. Выражение (7) записыва-
ют ещё и в операторной форме
[
]
() ()Fp Lft
=
.
Приведём изображение нескольких часто встречающихся функций.
Определим изображение константы – ( ) ( )
f
tAconst
=
:
0
0
()
pt
pt
eA
Fp Ae dt
p
p
−
∞
∞
−
==−=
∫
.
Найдем изображение экспоненциальной функции – ( )
t
f
te
α
= :
()
0
0
1
()
pt
tpt
e
Fp e e dt
pp
−−α
∞
∞
α−
==− =
−
α−α
∫
.
Изображение экспоненциальной функции поможет нам найти изобра-
жения синусоидальной косинусной функций– sin( ), cos( )tt
ω . Для это-
го запишем эти функции через формулу Эйлера. Далее осуществляем
следующую цепочку преобразований:
22 22
22 22
11 1 1
sin( ) ;
22 2
11 1 1
cos( ) .
22 2
jt jt
jt jt
e e pj pj
t
jjpjpjjp p
ee pjpj p
t
pj pj p p
−
−
⎧
⎛⎞⎛⎞
−+−+
=→−= =
⎪
⎜⎟⎜⎟
−+ + +
⎪⎝⎠⎝⎠
⎨
⎛⎞⎛⎞
+++−
⎪
=→+= =
⎜⎟⎜⎟
⎪
−+ + +
⎝⎠⎝⎠
⎩
ωω
ωω
ωωω
ω
ω
ωωω
ωω
ω
ω
ωωω
Определим изображение производной
()df t
dt
функции ()
f
t , имеющей
изображение ()Fp
0
00 0
()
() () () (0) ( )
pt pt pt pt
df t
e dt e df t f t e p f t e dt f pF p
dt
∞∞ ∞
∞
−− − −
== + =−+
∫∫ ∫
.

Страницы