Интерполяция. Исенбаева Е.Н. - 5 стр.

              1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ

      Пусть на отрезке [a, b] заданы n+1 точки x0, x1, …, xn, которые называют-
ся узлами интерполяции, и значения некоторой функции f(x) в этих точках
        f(x0)=y0, f(x1)=y1, …, f(xn)=yn                               (1.1)
              Геометрическая интерпретация задачи интерполирования
    y
                M0                        y=f(x)           y=φ(x)


                                                               Mn
                 y0
                                                               yn
                                   M1
                                y1
    0                 x0             x1                       xn      x

                                          Рис. 1.1
      Требуется построить функцию φ(x) близкую к f(x) и принимающую в уз-
лах интерполяции те же значения, что и f(x), т.е. такую, что
      φ(x0)=y0, φ(x1)=y1, …, φ(xn)=yn.                          (1.2)
Функция φ(x) должна обладать "хорошими" свойствами, позволяющими легко
производить над ней те или иные аналитические или вычислительные опера-
ции. Функцию φ(x) будем называть интерполирующей функцией. Геометриче-
ски это означает, что нужно найти кривую y=φ(x), проходящую через заданную
систему точек Mi(xi, yi) (i=0, 1, 2, …, n) (рис. 1.1).
      В такой общей постановке задача может иметь бесчисленное множество
решений или совсем не иметь решений. Однако эта задача становится одно-
значной, если вместо произвольной функции φ(x) искать полином Pn(x) степени
не выше n, удовлетворяющий условиям (1.2), т.е. такой, что Pn(x0)=y0, Pn(x1)=y1,
…, Pn(xn)=yn. В этом случае будем говорить о полиномиальной аппроксимации.
Для вычислительной математики многочлены привлекательны тем, что они яв-
ляются линейными функциями своих параметров (коэффициентов), и их вы-
числения сводятся к выполнению конечного числа простейших арифметиче-
ских операций – сложения и умножения.
      Полученную интерполяционную формулу y=φ(x) обычно используют для
приближенного вычисления значений данной функции f(x) для значений аргу-
мента x, отличных от узлов интерполирования. Такая операция называется ин-
терполированием функции f(x). При этом различают интерполирование в узком
смысле, когда x∈[x0, xn], и экстраполирования, когда x∉[x0, xn]. В дальнейшем

                                             5