Интерполяция. Исенбаева Е.Н. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИжГТУ им. Калашникова | Ижевск

Составители: 

Рубрика: 

6
под термином интерполирование будем понимать как первую, так и вторую
операцию.
2. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ МНОГОЧЛЕН ЛАГРАНЖА
Интерполяционная формула Лагранжа используется для произвольно за-
данных узлов интерполирования.
Пусть в точках x
0
, x
1
, …, x
n
таких, что a
≤
x
0
<…< x
n
≤
b, известны значения
функции y=f(x), т.е. на отрезке [a, b] задана
табличная (сеточная) функ- ция
f(x):
(2.1)
Требуется построить полином L
n
(x) степени не выше n, имеющий в заданных
узлах x
0
, x
1
, …, x
n
те же значения, что и функция f(x), т.е. такой, что
L
n
(x
i
)=y
i
(i=0, 1, 2,…, n).
Будем строить многочлен n-ой степени L
n
(x) в виде линейной комбинации
∑
=
n
0i
ii
)x(lc
многочленов n-й же степени l
i
(x) (i=0, 1, 2,…, n). Индекс i показы-
вает номер многочлена. Для того чтобы этот многочлен был интерполяцион-
ным для функции f(x), достаточно зафиксировать в качестве коэффициентов c
i
этой линейной комбинации заданные в табл. (2.1) значения y
i
=f(x
i
), а от базис-
ных многочленов l
i
(x) потребовать выполнения условия
⎩
⎨
⎧
≠
=
==
,ijесли,0
ijесли,1
)x(l
ijji
δ
(2.2)
где
δ
ij
– символ Кронекера.
В этом случае для многочлена
∑
=
=
n
0i
iin
)x(ly)x(L
в каждом узле x
j
(j
∈
{0, 1,…,n}), в силу (2.2), справед-
ливо
L
n
(x
j
)=l
0
(x
j
)y
0
+…+l
j-1
(x
j
)y
j-1
+l
j
(x
j
)y
j
+l
j+1
(x
j
)y
j+1
+…+l
n
(x
j
)y
n
=0+…+0+y
j
+0+…+0=y
j
Чтобы конкретизировать базисные многочлены l
i
(x), учтем, что они
должны удовлетворять условиям (2.2). Равенство нулю i-го многочлена во всех
узлах, кроме i-го, означает, что l
i
(x) можно записать в виде
l
i
(x)=A
i
(x-x
0
)…(x-x
i-1
)(x-x
i+1
)…(x-x
n
),
а коэффициент A
i
этого представления легко получается из содержащегося в
(2.2) требования l
i
(x
i
)=1. Подставляя в выражение l
i
(x
i
) значение x=x
i
и прирав-
нивая результат единице, получаем:
)xx)...(xx)(xx)...(xx(
1
A
ni1ii1ii0i
i
−−−−
=
+−
Таким образом, базисные многочлены Лагранжа имеют вид:
xx
0
x
1
…x
n
yy
0
y
1
…y
n
под термином интерполирование будем понимать как первую, так и вторую
операцию.

          2. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ МНОГОЧЛЕН ЛАГРАНЖА

      Интерполяционная формула Лагранжа используется для произвольно за-
данных узлов интерполирования.
      Пусть в точках x0, x1, …, xn таких, что a≤ x0<…< xn≤b, известны значения
функции y=f(x), т.е. на                              отрезке      [a,   b] задана
табличная (сеточная) функ- x x0 x1 … xn ция
      f(x):                         y y0 y 1 … yn
                                                            (2.1)
Требуется построить полином Ln(x) степени не выше n, имеющий в заданных
узлах x0, x1, …, xn те же значения, что и функция f(x), т.е. такой, что
      Ln(xi)=yi     (i=0, 1, 2,…, n).
Будем строить многочлен n-ой степени Ln(x) в виде линейной комбинации
 n
∑ ci li ( x ) многочленов n-й же степени li(x)              (i=0, 1, 2,…, n). Индекс i показы-
i =0
вает номер многочлена. Для того чтобы этот многочлен был интерполяцион-
ным для функции f(x), достаточно зафиксировать в качестве коэффициентов ci
этой линейной комбинации заданные в табл. (2.1) значения yi=f(xi), а от базис-
ных многочленов li(x) потребовать выполнения условия
                           ⎧ 1, если j = i
       li ( x j ) = δ ij = ⎨                                                        (2.2)
                           ⎩0 , если j ≠ i ,
       где δij – символ Кронекера.
В этом случае для многочлена
                   n
       Ln ( x ) = ∑ yi li ( x ) в каждом узле xj (j∈{0, 1,…,n}), в силу (2.2), справед-
                  i =0
ливо
       Ln(xj)=l0(xj)y0+…+lj-1(xj)yj-1+lj(xj)yj+lj+1(xj)yj+1+…+ln(xj)yn=0+…+0+yj+0+…+0=yj
       Чтобы конкретизировать базисные многочлены li(x), учтем, что они
должны удовлетворять условиям (2.2). Равенство нулю i-го многочлена во всех
узлах, кроме i-го, означает, что li(x) можно записать в виде
       li(x)=Ai(x-x0)…(x-xi-1)(x-xi+1)…(x-xn),
а коэффициент Ai этого представления легко получается из содержащегося в
(2.2) требования li(xi)=1. Подставляя в выражение li(xi) значение x=xi и прирав-
нивая результат единице, получаем:
                                         1
       Ai =
              ( xi − x0 )...( xi − xi −1 )( xi − xi +1 )...( xi − x n )

Таким образом, базисные многочлены Лагранжа имеют вид:


                                                  6

Страницы