Интерполяция. Исенбаева Е.Н. - 8 стр.

построения эффективного способа решения такой частной задачи интерполя-
ции учтем следующее:
1) использование многочлена Лагранжа в виде (2.3) неудобно из-за его гро-
   моздкости, что ведет к большим вычислительным затратам;
2) заранее не известно, многочлены какой степени нужно использовать для ин-
   терполирования данной функции с требуемой точностью. А постепенное
   улучшение точности за счет вычислений Ln(x) с большим показателем степе-
   ни n невыгодно, т.к. Ln-1(x) плохо перестраивается в Ln(x);
3) функция f(x) задается таблицей своих приближенных значений. Процесс
   сходимости Ln(x) к f(x) при больших значениях n будет нарушен влиянием на
   результат исходных ошибок.
      Построим вычислительную схему для получения приближенного значе-
ния сеточной функции f(x) в заданной точке x = ~  x , в основу которой будет по-
ложена интерполяция Лагранжа на сетке узлов x0, x1, …, xn. Организация вычис-
лений по этой схеме будет иметь итерационный характер. Каждый шаг заклю-
чается в вычислении некоторого определителя второго порядка.
      Пусть даны две точки на кривой y=f(x): (x0, y0) и (x1, y1). Построим функ-
цию P0,1(x):
                       1    x − x0 y0
      P0 ,1 ( x ) =                      .
                    x1 − x0 x − x1 y1
                     x − x1       x − x0
      P0 ,1 ( x ) =         y0 +           y1 = L1 ( x ) .
                    x0 − x1      x1 − x0
Т.е. P0,1(x) совпадает с интерполяционным многочленом Лагранжа первой сте-
пени, построенным по двум данным точкам (сравните с 2.3).
      Построим через определитель функцию P1,2(x) для точек (x1, y1), (x2, y2):
                       1    x − x1 y 1
      P1,2 ( x ) =                        .
                   x 2 − x1 x − x 2 y 2
                   x − x2          x − x1
      P1,2 ( x ) =          y1 +            y2 .
                   x1 − x 2      x 2 − x1
Она тоже является многочленом Лагранжа первой степени, построенным по
двум точкам (x1, y1) и (x2, y2).
      Если на кривой y=f(x) заданы три точки (x0, y0), (x1, y1), (x2, y2), то, исполь-
зуя введенные линейные функции P0,1(x) и P1,2(x) образуем новую функцию:
                           1    x − x0   P0 ,1 ( x )
      P0 ,1,2 ( x ) =                                .
                        x2 − x0 x − x2   P1,2 ( x )
Покажем, что эта функция есть многочлен второй степени. Учитывая, что
     P0,1(x0)=P1,2(x1)=y0,
     P0,1(x1)=y1,        P1,2(x2)=y2,
подставляя в P0,1,2(x) поочередно значения x=x0, x1, x2, получим:
     P0,1,2(x0)=y0;      P0,1,2(x1)=y1;  P0,1,2(x2)=y2.


                                                 8