Составители:
9
Т.о., функция P
0,1,2
(x) – это многочлен второй степени, решающий задачу пара-
болической интерполяции по трем точкам
(x
0
, y
0
), (x
1
, y
1
), (x
2
, y
2
). Но такой мно-
гочлен единственный, следовательно,
P
0,1,2
(x)=L
2
(x), где L
2
(x) – многочлен Ла-
гранжа.
Продолжая процесс рассуждения, получим рекуррентное задание после-
довательности интерполяционных многочленов Лагранжа, которое составляет
суть интерполяционной схемы Эйткена:
)x(Pxx
)x(Pxx
xx
1
)x(P)x(f
i,...,2,1i
1i,...,1,00
0i
i,...,1,0
−
−
−
=≈
−
, (3.1)
где
i=1, 2, …, n и по определению P
0
(x)=y
0
, P
1
(x)=y
1
.
Схема Эйткена легко реализуется на ЭВМ. Организация вычислений по
формуле (3.1) должна быть такова, что если заранее неизвестна степень интер-
поляционного многочлена, который нужно использовать для вычисления
y(x),
то должно происходить постепенное повышение степени
k интерполирующих
ее многочленов за счет подключения новых узлов. Счет ведется до тех пор, по-
ка идет уточнение приближенного значения
y(x).
Об этом можно судить по уменьшению величины
|P
i, i+k-1
(x)-P
i, i+k
(x)| при
увеличении
k и подходящем фиксировании i.
Пример.
Пусть некоторая функция y=y(x) задана таблицей своих значений,
округленных до двух знаков после запятой:
x
i
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4
y
i
1.00 1.02 1.08 1.12 1.34 1.54 1.81 2.15
Рассмотрим процесс вычисления двух значений этой функции по схеме
Эйткена в точках: а)
1.0
x
~
=
; б) 25.0
x
~
=
. Результаты промежуточных вычисле-
ний (в которых один знак запасной) сведем в табл. 3.1, 3.2. Числа в столбцах,
помеченных посредством
)x
~
(P
ki,i +
, представляют собой значения многочленов
Лагранжа
k-ой степени, построенных по узлам от i-го до (i+k)-го рекуррентно
по формуле:
)x
~
(Pxx
~
)x
~
(Pxx
~
xx
1
)x
~
(P
ki,1i
ki
1ki,i
i
iki
ki,i
++
+
−+
+
+
−
−
−
=
, (3.2)
где
k=1, 2, …,
i
j,i
y:P
=
, в соответствии с интерполяционной схемой Эйткена.
Порядок получения этих значений показан проставленными в каждой клетке
номерами.
Т.о., функция P0,1,2(x) – это многочлен второй степени, решающий задачу пара-
болической интерполяции по трем точкам (x0, y0), (x1, y1), (x2, y2). Но такой мно-
гочлен единственный, следовательно, P0,1,2(x)=L2(x), где L2(x) – многочлен Ла-
гранжа.
Продолжая процесс рассуждения, получим рекуррентное задание после-
довательности интерполяционных многочленов Лагранжа, которое составляет
суть интерполяционной схемы Эйткена:
1 x − x0 P0 ,1,...,i −1 ( x )
f ( x ) ≈ P0 ,1,...,i ( x ) = , (3.1)
x i − x0 x − x i P1,2 ,...,i ( x )
где i=1, 2, …, n и по определению P0(x)=y0, P1(x)=y1.
Схема Эйткена легко реализуется на ЭВМ. Организация вычислений по
формуле (3.1) должна быть такова, что если заранее неизвестна степень интер-
поляционного многочлена, который нужно использовать для вычисления y(x),
то должно происходить постепенное повышение степени k интерполирующих
ее многочленов за счет подключения новых узлов. Счет ведется до тех пор, по-
ка идет уточнение приближенного значения y(x).
Об этом можно судить по уменьшению величины |Pi, i+k-1(x)-Pi, i+k(x)| при
увеличении k и подходящем фиксировании i.
Пример. Пусть некоторая функция y=y(x) задана таблицей своих значений,
округленных до двух знаков после запятой:
xi 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4
yi 1.00 1.02 1.08 1.12 1.34 1.54 1.81 2.15
Рассмотрим процесс вычисления двух значений этой функции по схеме
Эйткена в точках: а) ~x = 0.1 ; б) ~x = 0.25 . Результаты промежуточных вычисле-
ний (в которых один знак запасной) сведем в табл. 3.1, 3.2. Числа в столбцах,
помеченных посредством Pi ,i + k ( ~x ) , представляют собой значения многочленов
Лагранжа k-ой степени, построенных по узлам от i-го до (i+k)-го рекуррентно
по формуле:
~
x − xi Pi ,i + k −1 ( ~
x)
1
Pi ,i + k ( ~
x )= , (3.2)
xi + k − x i ~
x − xi + k Pi +1,i + k
(~x)
где k=1, 2, …, Pi , j := y i , в соответствии с интерполяционной схемой Эйткена.
Порядок получения этих значений показан проставленными в каждой клетке
номерами.
9
