Интерполяция. Исенбаева Е.Н. - 7 стр.

                           ( x − x0 )( x − x1 )...( x − xi −1 )( x − xi +1 )...( x − x n )
      li ( x ) =                                                                             ,
                        ( xi − x0 )( xi − x1 )...( xi − xi −1 )( xi − xi +1 )...( xi − x n )
а искомый интерполяционный многочлен Лагранжа:
                            n   ( x − x0 )...( x − xi −1 )( x − xi +1 )...( x − xn )
      Ln ( x ) = ∑                                                                      yi            (2.3)
                         i =0 ( xi − x0 )...( xi − xi −1 )( xi − xi +1 )...( xi − x n )
Пример.   Построить интерполяционный полином для функции y=sin x.
                                                 π     π
Возьмем сетку, состоящую из трех точек: x0=0; x1= ; x2= , выпишем соот-
                                                                               6             2
                                                                                                  1
ветствующие этим аргументам значения функции sin x:                                      y0=0; y1= ; y2=1.
                                                                                                  2
Построим по этой таблице интерполяционный полином второй степени. По
формуле Лагранжа (2.3):
                                      π            π                π                π
                                (x−       )( x −       ))  x( x −       )   x( x −
                               2  1   6    2          6      7     3
      L2 ( x ) = 0 ⋅             + ⋅          + 1⋅        =    x − 2 x2 .
                        π    π    2 π      π       π π      2π    π
                     ( − )( − )        ⋅( − )       ⋅
                        6    2       6     3       2 3
Легко проверить, что в точках сетки этот полином принимает нужные значения.
Чтобы получить представление о погрешности интерполирования, сравнивая
                                                       π
значения sin x и интерполяционного полинома в точке х= .
                                                                                         4
            π           1
      sin       =≈ 0 ,707107 ,
            4  2
          π    11
      L2 ( ) =    = 0 ,6875 ,
          4    16
                π                π
      ε = sin           − L2 (        ) = 0 ,019607 ≈ 0 ,02 .
                    4             4
Значительная величина погрешности определяется тем, что на отрезке длиной
π
   мы взяли грубую сетку, состоящую всего из трех точек. Чтобы улучшить
2
точность интерполирования, нужно либо увеличить число точек n и повысить
соответственно степень интерполяционного полинома Ln(x), либо уменьшить
длину исходного отрезка.

                        3. ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ СХЕМА ЭЙТКЕНА

      Пусть функция f(x) и расположение узлов x0, x1, …, xn на отрезке интерпо-
ляции [a, b] таковы, что имеет место сходимость процесса интерполяции, т.е.
Rn(x)→0 при n→∞. Пусть требуется найти не общее выражение Ln(x), а лишь
его значения при конкретных x, т.е. решается частная задача вычисления от-
дельных приближенных значений функции f(x) с помощью вычисления соот-
ветствующих им значений интерполяционного многочлена Лагранжа Ln(x). Для


                                                                7