Основы механики материальной точки. Ивахник В.В. - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

33
11
j
jj
d
j
L
M
dt
==
=
∑
∑
G
G
. (5.11)
Предположим, система материальных точек замкнутая, т.е. на нее не
действуют извне другие тела. Распишем выражение для суммы моментов
сил
3
12311 22 33
1
j
j
M
MMM rF rF rF
=
⎡
⎤⎡ ⎤⎡ ⎤
=++= + +
⎣
⎦⎣ ⎦⎣ ⎦
∑
GGGG G G G
G
GG
. (5.12)
Здесь – результирующие силы, действующие на первую, вторую
и третью точки, со
12
,,FFF
GGG
3
ответственно
1 12 13 2 21 23 3 31 32
,,FF FFF FFF F
=
+=+=+
GG GGG GGG G
. (5.13)
С учетом (5.13) выражение для суммы моментов сил примет вид
3
1 12 1 13 2 21 2 23 3 31 3 32
1
j
j
M
rF rF rF rF rF rF
=
⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡ ⎤⎡⎤⎡
=++ + + +
⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣ ⎦⎣⎦⎣
∑
GG G G G G G
GGGG GG
⎤
⎦
⎤
⎦
0
.
Рассмотрим сумму
. Из третьего закона Ньютона сле-
дует, что
. Тогда
112 2 21
rF rF
⎡⎤⎡
+
⎣⎦⎣
GG
GG
12 21
FF=−
GG
112 2 21 1 2 12
()rF rF r r F
⎡⎤⎡⎤⎡ ⎤
=− =
⎣⎦⎣⎦⎣ ⎦
GG G
GG GG
. (5.14)
Равенство нулю записанного выше выражения вытекает из условия,
что вектор
антипараллелен вектору
1
rr−
GG
2 12
F
G
, поэтому синус угла между
ними равен нулю.
Аналогично можно показать, что
113 331
0rF rF
⎡⎤⎡⎤
+=
⎣⎦⎣⎦
GG
GG
и
223 332
0rF rF
⎡⎤⎡⎤
+
=
⎣
⎦⎣ ⎦
G
G
G
G
. (5.15)
Таким образом, получаем, что сумма моментов всех сил в замкнутой
системе равна нулю. Тогда из (5.11) имеем
0
d
L
L const
dt
=⇒ =
GG
, т.е.
(
)
(
)
12
L
tLt=
G
G
. (5.16)
Показали, что для замкнутой системы из трех материальных точек
момент импульса системы есть величина постоянная, не зависящая от вре-
мени.
Аналогичный вывод можно сделать для замкнутой системы из
n мате-
риальных точек.
Таким образом,
в замкнутой системе материальных точек мо-
мент импульса системы есть величина постоянная.
Замечание. Момент импульса материальной точки, а значит и системы
материальных точек, зависит от выбора системы отсчета. Совершая пере-
ход от одной системы отсчета к другой, мы меняем величину момента им-
пульса (меняется
j
r
G
). Однако, если система замкнутая, в новой системе от-
счета новое значение момента импульса системы, по-прежнему, есть вели-
чина постоянная, не зависящая от времени. Это утверждение вытекает из
46

Страницы