Физика. Электромагнитные колебания. Квантовая теория излучения. Иваницкая Ж.Ф. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КамчатГТУ | Петропавловск-Камчатский

Составители: 

Рубрика: 

20
Так как сила тока
,
dt
dq
I =
то подставляя его значение
в уравнение (3.1), имеем следующее дифференциальное урав-
нение для свободных колебаний заряда:
.0
1
2
2
=+ q
LC
dt
qd
(3.2)
Обозначив циклическую частоту
LC
1
0
=
0
ω
, где
ω
имеет
размерность с
–1
, окончательно имеем дифференциальное урав-
нение свободных колебаний заряда:
.0
2
0
2
2
=+ qω
dt
qd
(3.3)
Покажем подстановкой, что решением этого уравнения яв-
ляются гармонические функции вида
q = q
0
cos (
ω
0
t +
ϕ
), (3.4)
q = q
0
sin (
ω
0
t +
ϕ
), (3.5)
где
ϕ
– константа, называемая начальной фазой колебаний.
Убедимся в этом хотя бы для функции (3.4).
Первая производная заряда по времени определяется фор-
мулой
),(sin
000
ϕω
+tωq−=
dt
dq
(3.6)
а вторая – формулой
()
.tωωq
ϕ
+
0
2
00
cos
dt
qd
−=
2
2
(3.7)
Подставим значение заряда (3.4), его вторую производную
(3.7) в уравнение его свободных колебаний (3.3):
()
(
)
;tωq 0cos
00
=+
ϕ
ωtωωq cos
2
00
2
00
++−
ϕ
0 ≡ 0.
Следовательно, формула (3.4) – то же можно показать и
для формулы (3.5) – подтверждает, что заряд конденсатора из-
меняется (осциллирует) по закону гармонической функции. 
                            dq
    Так как сила тока I =      , то подставляя его значение
                            dt
в уравнение (3.1), имеем следующее дифференциальное урав-
нение для свободных колебаний заряда:
                          d 2q    1
                             2
                               +    q = 0.                          (3.2)
                          dt     LC
                                                       1
    Обозначив циклическую частоту ω0 =      , где ω0 имеет
                                         LC
размерность с–1, окончательно имеем дифференциальное урав-
нение свободных колебаний заряда:
                           d 2q
                              2
                                + ω02 q = 0.                        (3.3)
                           dt
   Покажем подстановкой, что решением этого уравнения яв-
ляются гармонические функции вида
                        q = q0 cos (ω0t + ϕ),                       (3.4)
                        q = q0 sin (ω0t + ϕ),                       (3.5)
где ϕ – константа, называемая начальной фазой колебаний.
    Убедимся в этом хотя бы для функции (3.4).
    Первая производная заряда по времени определяется фор-
мулой
                    dq
                       = − q 0 ω0 sin (ω 0 t + ϕ ),      (3.6)
                    dt
а вторая – формулой
                     d 2q
                          = − q0 ω02 cos(ω0t + ϕ ) .                (3.7)
                     dt 2
     Подставим значение заряда (3.4), его вторую производную
(3.7) в уравнение его свободных колебаний (3.3):
        − q0 ω02 cos(ω0t + ϕ ) + ω02 q0 cos(ω0t + ϕ ) = 0; 0 ≡ 0.
    Следовательно, формула (3.4) – то же можно показать и
для формулы (3.5) – подтверждает, что заряд конденсатора из-
меняется (осциллирует) по закону гармонической функции.
                                  20

Страницы