Теория волн. Иванов В.Б. - 132 стр.

                               В. Б. Иванов

    Рассмотрим особый случай, когда волна испускается
вертикально вверх, то есть при φ0 = π/2. При этом
y = τ −τ            и py = 1 − τ
           2
                                        . Волна, распространяясь вер-
               4L                  2L
тикально, достигает максимальной высоты y = L, где пока-
затель преломления обращается в ноль, отражается и рас-
пространяется вниз. В приближении геометрической оп-
тики получается, что амплитуда поля в точке отражения
обращается в бесконечность. Физически это, естественно,
невозможно, но, в точке отражения и само приближение
перестает работать. Как мы видели выше, условие приме-
нимости приближения заключается в малости изменения,
в том числе амплитуды на длине волны. При подходе к
точке отражения амплитуда в наших расчетах возрастает
сколь угодно быстро. Таким образом, вблизи точки, где
n →0 геометрооптическое решение перестает быть вер-
ным.

   6.3.         Точные        решения          уравнения     Гельм-
гольца
     Уже тот факт, что геометрическая оптика не позво-
ляет найти истинное значение амплитуды поля в точке от-
ражения, свидетельствует о необходимости поиска точных
решений уравнения Гельмгольца для неоднородных сред.
В ряде модельных описаний точные решения действи-
тельно существуют. К их рассмотрению мы и переходим.
     Замечательным является то, что именно для линейно-
го слоя задача расчета волнового поля решается до конца
и в аналитическом виде. Рассмотрим одномерную элек-
тромагнитную волну, распространяющуюся в направле-
нии оси Oz, вдоль которой диэлектрическая проницае-
мость изменяется по линейному закону ε(z) = 1 – z/z0, где
z0 – постоянная. Уравнение Гельмгольца при этом запи-
шется в виде:


                                        132